Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Пусть заданы класс ft алгебраических систем, множество {гг} символов Zi (i Q I) и произвольная совокупность €> формул вида (1). Произвольная Я-система 21 тогда и только тогда изоморфна й-системе, для которой совокупность порождающих символов Zi и совокупность формул © являются определяющими совокупностями, когда существует отображение Zi-^ai (at Q Ш, і Q /), обладающее следующими свойствами:
і) элементы а і (і Q I) порождают систему St;
ii) все формулы системы истинны в 21 при отображении Zi —У й;5
iii) если для некоторой системы sJJl класса ft существует отображение Zi ->¦ mt (тг Q SK, і Q /), при котором все формулы совокупности <& истинны в tJJl, то существует гомоморфизм. ф системы St в систему SK, переводящий а і в mt(i Q /).
Необходимость. Пусть система St определяется в Й' совокупностями Zi (г Q I), (&. Согласно опреде- ,§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
277
лению это значит, что существует отображение a: Zi ->¦ ->- oj (аг 6 21), удовлетворяющее условиям 1), 2), причем элементы at порождают 2t. Это значит, в частности, что отображение Zi ->¦ аг обладает свойствами i), ii). Покажем, что а обладает и свойством iii). Пусть задано отображение ?: Zi^mi в какую-то S-систему 5Ш, при котором все формулы из @ истинны в ЯЛ. На паре (И, Ж) рассмотрим отношение ф, состоящее из всевозможных пар вида
</(ая, . .., av), f(mx, ..., mv)>, (2)
где / — произвольный терм, и покажем, что ф есть гомоморфизм 2t в Ж. Так как элементы аг порождают 2t, то в виде / (ах, . . ., av) можно представить любой элемент системы 21, и потому левая область отношения ф есть 21. Далее, если для каких-нибудь /, g
f(ax,...,av) = g(ax,...,av), (3)
то, согласно 2), формула
/ (Zx, Z4) = g (zx, .. ., zv) (4)
является следствием совокупности формул © в классе Но в системе 9)1 все формулы из © при отображении Zi ->¦ Ttii истинны и SJl Є й, поэтому формула (4) также истинна в ЯК, т. е. в ЮЇ
f(mx, ..., mv) = g (тх, ..., mv). (5)
Это означает, что ф есть однозначное отображение
21 в т.
Аналогичным образом убеждаемся, что если в 2t истинно какое-нибудь соотношение вида
P (f(aK, .. ., av), . .., h(ax, . . ., av)), (б)
где P — сигнатурный предикатный символ, то в ЭД1 истинно соответствующее соотношение
P(f(mx,...,mv), , .., h(mx, . .., mv)). (7)
Из (5) и (7) следует, что отображение ф — гомоморфизм. Так как пары вида (2) принадлежат ф, то (аг, Tni) Є ? Ф, т. е. агф = ті (і € Г), ^to и требовалось.
Достаточность. Пусть система 2t удовлетворяет условиям i), ii), iii), и пусть для некоторых термов 278
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
/, g, . . ., h в И истинно соотношение (3) или соотношение (6). Надо убедиться, что тогда формула (4) (или соответственно формула (7)) в классе S является следствием совокупности формул т. е. что в каждой й-системе 5ЇІ для любого отображения zi ttli (т71; б Ж, і б i), при котором в SOl истинны все формулы из <?>, формула (4) (или соответственно (7)) также истинна. Согласно iii) при указанных предположениях существует гомоморфизм ф системы 21 в систему 5Ш, для которого а(ср = = THi (і ё Ґ). Но при гомоморфизмах квазиатомарные формулы сохраняют свою истинность, и потому из истинности (3) или (6) вытекает истинность (4) или соответственно (7).
Отметим два следствия, непосредственно вытекающих из " теоремы 1.
Следствие 2. Если в некотором классе Я существуют системы 2[, 95, имеющие фиксированную совокупность порождающих символов Zi (і ? I) и одну и ту же совокупность квазиатомарных формул €> своими определяющими совокупностями, то 21 и S изоморфны.
Действительно, согласно теореме 1 найдутся отображения
Zi^ai (я, Є Я, і Zi^bl (ЬІ € 35, і ? I) (8)
такие, что элементы at будут порождать 2t, элементы bt будут порождать 95 и для подходящих гомоморфизмов
ср: И ^ 95, ij): 95 ^ 2t будем иметь «jф = Ьі, &гі]з = аг, откуда
агфі|) = аи Ьег|)ф = bt (г € I). (9)
Так как отображения фі|з, і|)ф — гомоморфизмы 21, 95 в себя, то из (9) следует
/ (ах, . . ., av) фя|> = / (ал, ..., av),
f(bx, ..., = • • •» К),
т. е. фі)), і]зф — единичные отображения, "ф = ф-1 и ф есть изоморфизм 21 на 95.
Следствие 3. Пусть совокупности порождающих символов Zi (і ? I) и квазиатомарных формул © определяют ,§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
279
в классе й систему 2t, а в подклассе SsK определяют систему 33. Тогда система является гомоморфным образом системы 21.
По условию существуют отображения (8), при которых все формулы из <& истинны в St и 33 и совокупности элементов {«*}, {bi} порождают эти системы. Из 33 ? S следует 83 ? Я, и потому из утверждения iii) теоремы 1 вытекает существование гомоморфизма ср: 21 ->¦ 95, при котором й;ф = bi (і ? 7). Так как образ Step системы 2t в 35 содержит элементы bi, порождающие 33, то ср есть гомоморфизм St на 95.
Если класс St произволен, то может случиться, что некрторая совокупность порождающих символов и квазиатомарных формул не будет определять в St никакой системы. Например, пусть класс Sl состоит лишь из систем, изоморфных полугруппе
