Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Берем произвольный фильтр D над М. На основании § 8 (см. дополнение 1)
_ П VI> S [І ©г/Я*, (6)
*) Запись Э1 с ® означает, что система ЭД изоморфна подсистеме системы 58.
18 А. И. Мальцев 274
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
где D*-— подходящий фильтр. Но соотношение (6) и означает, что класс SF$e замкнут относительно фильтрованных произведений.
В частности, из теоремы 4 вытекает, что квазипримитивное замыкание системы St состоит из единичной системы и подсистем произвольных фильтрованных степеней системы St.
Обсуждая в п. 8.3 проблему вложения систем одного ультразамкнутого класса в системы другого такого же класса, мы убедились, что условия вложимости можно выразить V-формулами. Мы хотим теперь показать, что условия вложимости можно выразить даже совокупностью квазитождеств, если рассматривать не произвольные ультразамкнутые классы, а квазимнохообразия.
Следствие 5. Подкласс й тех систем какого-нибудь квазимногообразия St1 сигнатуры Q1, которые вложимы в подходящие системы некоторого фиксированного квазимногообразия сигнатуры Q2 Э Q1, сам является квазимногообразием.
Это и означает, что условия вложимости систем одного квазимногообразия в системы другого квазимногообразия могут быть выражены квазитождествами.
Доказательство очевидно, так как непосредственно видно, что подкласс К удовлетворяет требованиям і), ii), iii) следствия 3.
В качестве типичного примера рассмотрим задачу о погружении полугрупп в группы. Классы полугрупп и групп являются многообразиями и потому к ним можно применить следствие 5. Таким образом, условия погружаемости произвольной полугруппы в подходящую группу могут быть представлены совокупностью квазитождеств, имеющих для полугрупп вид (4), где fi, gt, ... . . ., /то+ь gm+i — какие-то слова в алфавите X1, . . ., хп. Простейшими из этих квазитождеств являются, очевидно, формулы
XlXz = Xix3 xi = xs, (7)
= х^хъ —>- Х\ = х2, (8)
представляющие собою законы левой и соответственно правой сократимости. § 11] ОБЩИЕ СВОЙСТВА
275
Полугруппы, удовлетворяющие квазитождествам (7), (8), называются полугруппами с сокращением. Отсюда, в частности, следует, что полугруппы с сокращением образуют конечно аксиоматизируемое квазимногообразие.
Если полугруппа її коммутативна, то, как известно, истинность в її квазитождества (7) уже достаточна для погружаемости полугруппы її в группу. Если же полугруппа її — произвольная некоммутативная, то выполнимость в її квазитождеств (7), (8) не всегда гарантирует вложимость ее в какую-то группу. В связи с этим были найдены более сложные квазитождества, необходимые для вложимости произвольной полугруппы в группу. Первым из них было указано (Мальцев [33]) квазитождество
ах = by & сх = dy & аи = bv ~> си = du.
Позже были найдены полные системы квазитождеств, необходимые и достаточные для вложимости произвольной полугруппы в группу (см. Мальцев [34], а также JI а м б е к [27], Кон [23], стр. 263). Эти системы оказались бесконечными и было доказано (Мальцев [35]), что они не эквивалентны никакой конечной системе квазитождеств. Иначе говоря, оказалось, что квазимногообразие полугрупп, вложимых в группы, не является конечно аксиоматизируемым. Это тем более интересно, что исходные классы — класс полугрупп и класс всех групп — конечно, аксиоматизируемы.
11.2. Определяющие соотношения. Задать алгебраическую систему в явном виде — значит задать ее диаграмму. Диаграмма бесконечной системы состоит из бесконечного числа формул, и потому задать бесконечную систему можно лишь, указав способ для построения формул ее диаграммы. Одним из таких способов, имеющих большое теоретическое значение, является способ задания алгебраической системы посредством так называемых определяющих соотношений, состоящий в следующем.
Рассмотрим алгебраическую систему її = (А, О), принадлежащую какому-то фиксированному классу систем й. Выберем в її произвольную порождающую совокупность элементов аг (ї Є I) (не обязательно разлйчных) и с каждым из этих элементов аг свяжем особый предметный
19* 276
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
символ Zi. Берем, далее, какой-нибудь набор <& квазиатомарных формул вида
f = g, P(f,g,.. ., h), (1)
где /, g, . . ., h — термы сигнатуры Q от предметных переменных Zi (i Q /), P — сигнатурный предикатный символ.
Говорят, что совокупность порождающих символов Zi (і ? /) и совокупность формул @ являются определяющими совокупностями для системы 21 в классе К в порождающих йг (і 6 Г), если:
1) все формулы из €> истинны в SI при отображении Zi Ч (і ? /);
2) любая формула вида (1), истинная в И при отображении Zi Cti (i Q I), является в классе A следстви-е м совокупности формул €>.
Формула A (z%, . . ., zv) называется следствием в классе Ш совокупности формул <В, если для любого отображения Zi mt совокупности символов Zi в произвольную Яі-систему Ш, при котором в ЗЛ истинны все формулы из <&, формула Ji (т%, . . ., mv) также истинна в Ж.
Нижеследующая теорема является удобной перефразировкой приведенного определения.
