Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Si = Eni. (3)
Из (2), (3) вытекает т. е. для любого х из 21
хп і = X (ag) Яг (г ? I)
и потому х = х (а?).
Итак, отображение a есть эпиморфизм, — тождественное отображение. Отсюда следует, что ? = а-1, а — изоморфизм системы 21 на систему 21$, принадлежащую классу Я! по определению.
Класс $ї сигнатуры Q называется реплично полным, если в нем каждая алгебраическая система сигнатуры Q имеет реплику.
Следствие 6. Для того чтобы в классе St произвольные порождающие символы Zi (t ^ /) и произвольная совокупность квазиатомарных формул от этих символов определяли соответствующую Й-систему, необходимо и достаточно, чтобы класс Я! был реплично полным. 294
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Достаточность вытекает из теоремы 5 и теоремы 4 п. 11.2, а необходимость следует из теоремы 5 и леммы 4.
Следствие 7. Для того чтобы аксиоматизируемый класс R алгебраических систем был реплично полным, необходимо и достаточно, чтобы ff был квазимногообразием.
В самом деле, каждое квазимногообразие заведомо наследственно, мультипликативно замкнуто и содержит единичную систему. Обратно, если класс ff обладает этими тремя свойствами и вдобавок аксиоматизируем, то в силу теоремы 2 п. 11.1 ff есть квазимногообразие.
Для произвольного класса ff нетрудно построить в явном виде минимальный, содержащий ff, реплично полный класс 7?ff, называемый репличным замыканием класса ff.
Напомним, что для произвольного класса R символом Д ff обозначается класс всех изоморфных копий декартовых произведений ff-систем, a S^ означает класс всех подсистем ff-систем. Обозначим еще через ffe класс, получаемый присоединением к ff единичной системы.
Теорема 8. Для произвольного класса алгебр аиче-ских систем ff класс Rlfc-S JJ является минимальным реплично полным классом, содержащим в себе класс ff.
Минимальность класса S JJ ffe очевидна, так как реплично полный класс содержит единичную систему, декартовы произведения и подсистемы своих систем. Поэтому надо доказать лишь, что класс S [j ffe реплично полон. Этот класс заведомо содержит единичную систему. Если 21 — подсистема произведения [J^a (а 6 21а 6 ffe), то каждая ее подсистема является подсистемой того же произведения. Поэтому класс (S1JJffe наследственный. Наконец, пусть задана какая-то последовательность {21 і І і Q 1} систем из 5 JJffe. По условию
21гдП^ KtttKi= 0, ІФ/).
Но в этом случае, согласно п. 2.5, существует вложение
П ^єПП^^П^ (veutff).
і %
из которого следует, что ,§ 11]
общие свойства
295
Отметим важный случай, когда класс St состоит лишь из одной (с точностью до изоморфизма) системы 21. Согласно теореме 8 наименьший реплично полный класс, содержащий систему 21, состоит из единичной системы и изоморфных копий подсистем декартовых степеней системы 21.
Укажем следующий простой пример реплично полного класса, не являющегося квазимногообразием. Пусть Шю есть класс всех групп для которых пересечение Pl последовательных коммутантов <S(0) ^ @(1) Э
Э <3(2) э . . . (@(0) =@, (St"+1) = (®<*>)') есть единичная группа. Класс SRto является, очевидно, наследственным, мультипликативно замкнутым и содержит единичную группу. Следовательно, класс — реплично-пол-ный. В то же время этот класс не является локально замкнутым. В самом деле, как установили А д о [1] и Шмидт [78], существуют локально разрешимые группы, совпадающие со своим коммутантом. Поэтому класс Sjdffl, включая в себя все разрешимые группы, не содержит всех локально разрешимых групп.
Возникает вопрос, для каких же классов Я минимальный реплично полный класс S [J Ste есть квазимногообразие? Полезным частичным решением этого вопроса является
Следствие 9. Если класс Я алгебраических систем аксиоматизируем, то класс S [] й<? — квазимногообразие.
Ясно, что, присоединяя единичную систему к аксиоматизируемому классу 1, мы получим снова аксиоматизируемый класс Яе. Согласно следствию 5 п. 8.3 из аксиоматизируемости класса вытекает универсальная аксиоматизируемость класса S [J^e*). Применяя теперь следствие 7, получаем, что S 0? есть квазимногообразие.
Например, класс (21) изоморфных копий конечной алгебраической системы Я аксиоматизируем. Ввиду следствия 9 отсюда вытекает, что минимальный реплично полный класс S ?[ (Я)е в этом случае является квазимногообразием.
*) Достаточно проверить, что любое ультрапроизведение JJ JRe-CIICTCM изоморфно вложимо в подходящую J Яіе-систе-му. —Прим. ред . 296
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Выше отмечалось, что если эпиморфизм а: 21 95 является R-морфизмом для какого-то класса систем й, то а является S-морфизмом для любого меньшего класса S, содержащего систему 95. Обратное в общем случае неверно. Поэтому представляет интерес следующее предложение, указывающее условия, при которых обращение остается справедливым.
Теорема 10. Если эпиморфизм а: 21 95 является 2-морфизмом для некоторого класса S, то а остается Ш-морфизмом и для репличного замыкания К = S [] Se класса S.
Пусть задан гомоморфизм у: 21—причем
©=П ®і GS).
«er
Рассмотрим гомоморфизмы ущ: 21—>©г, где яг —
