Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры и дополнения
1. Квазипримитивное и репличпое замыкания любого аксиоматизируемого класса ® алгебраических систем совпадают.
* 2. Пусть полугруппа @ задана конечной или счетной совокупностью порождающих Z1, г2, . . . и некоторой совокупностью <3 определяющих соотношений. Подставляя в соотношения из <3 вместо символов z'i слова
zi = Olffl2^+14+2 (/ = 1,2,...), (1)
получим множество определяющих соотношений для некоторой полугруппы ©0 с порождающими alt а2. Формулы (1) определяют изоморфное вложение полугруппы gj в полугруппу и алх Ф х для всех X из @0. (Холл [70], см. также Мальцев [41].)
§ 12. Свободные системы и композиции
Свободные композиции (произведения) и свободные системы играют видную роль в теории классов систем. В этом параграфе излагаются лишь определения и общие свойства свободных систем и свободных композиций.
12.1. Свободные композиции. Пусть заданы некоторый класс К алгебраических систем сигнатуры Q и последовательность {21г І і Ql) каких-то систем этой сигнатуры, не обязательно принадлежащих классу Й. Система 21 сигнатуры Q называется свободной композицией систем 21 і в классе Й (или их Ж-композицией), если она удовлетворяет следующим условиям:
1) 21 6 R;
2) существует такая система гомоморфизмов
*) Одно условие достижимости многообразий и квазимногообразий произвольных алгебраических систем указано А. И. M а л ь-ц е в ы м [43].— Прим. ред. 300
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
что
Ctf
2а) совокупность U 21 г образов систем Яі в системе Я порождает Я;
26) для каждой совокупности гомоморфизмов
УІ'
систем Яг в произвольную ff-систему © существует гомоморфизм Я —> (5, удовлетворяющий равенствам
Утверждение, что Я есть ff-композиция систем Яг (г ? I), записывают символически в виде
я = Г1*9Гі (г є/). (1)
St
В простейшем случае, когда / = {0,1, ...,п— 1}, Я0 = &, St1 = S, ..., Яп-1 = Ф, вместо (1) обычно пишут
Я = 95 * <? * ...» Ф, (2)
ft ft ff
причем в записях (1), (2) знаки ff опускают, если класс ff заранее как-то фиксирован. Если все системы Яг совпадают с системой 35, то композицию (1) называют ff-свободной I-й степенью системы 95 и вместо (1) пишут
Я = 95*' (ff).
Системы Я і в ff-композиции (1) называются ее свободными множителями, а гомоморфизмы аг называются композиционными или каноническими гомоморфизмами свободных сомножителей в их ff-композицию.
Допустим, что i состоит лишь из одного элемента S. Сравнивая определение ff-композиции [J * Яг (i ? {s}) с определением ff-реплики Я8 (п. 11.3), видим, что П*9Гі (і = s) является просто репликой Я» в классе ff. Поэтому на понятие ff-композиции можно смотреть как на обобщение понятия ff-реплики. Подобно тому как ff-реплики задаются совокупностью определяющих соотношений, ff-композиция (1) также может быть * задана естественными определяющими соотношениями, и это задание сделает очевидным ряд свойств свободных композиций. § 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ 301
Каждому элементу а ? 21 г ставим в соответствие особый символ Za и обозначаем через Da (Sli) атомарную диаграмму системы SIi, записанную в символах Z1a, т. е. совокупность тех формул вида
P(zi, ...,zl), Zi = F (zl, ...,zi) (P,F?tl),
которые истинны в Sli при отображении Za-*- а. Заметим, что благодаря наличию верхних индексов у символов Z1a диаграммы сомножителей Sli, Slj- при і Ф / будут состоять из разных формул даже в том случае, когда Sli = Slj,
Теорема 1. Система Si, заданная в классе й порождающими символами Za (і ? I, а ? Ш і) и определяющими соотношениями U Z?а (?г) (г ^ Jr), является свободной композицией систем Sli (і 6 I) в классе Й, При этом каноническое отображение <p: Z1a ->- Ш порождающих символов в систему Sl индуцирует композиционные гомоморфизмы осг: а ->- 2дф систем SIi в их композицию Si.
Для доказательства достаточно сравнить определения свободной Й-композиции систем SIi и системы, заданной в классе E порождающими символами Za и определяющими соотношениями U Da (Sli).
Эти же соображения показывают, что на самом деле истинно и следующее утверждение, несколько более общее, чем теорема 1.
Теорема 1а. Пусть в классе St системы Sli (і <Е I) задаются попарно непересекающимися совокупностями Zi порождающих символов и какими-то совокупностями Ti определяющих соотношений. Тогда система Si, заданная в классе Й объединенной совокупностью U Zi порождающих символов и объединенной совокупностью U J1i определяющих соотношений, является свободной композицией систем Sli в классе К.
Из теоремы 1 получаем
Следствие 2. Пусть заданы композиции
-Si=EMi (*€/), ® = П*®> (/є-о.
соответственные композиционные гомоморфизмы
ссг: Sli-^Sl1 Р/. >®, 302
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
взаимно однозначное отображение ф множества I на множество J и гомоморфизмы
множителей первой композиции в соответственные множители второй. Тогда существует гомоморфизм | системы Я в систему 95, удовлетворяющий соотношениям
При этом если х*— гомоморфизмы SIj на 35$ф, то |— гомоморфизм 21 на 35; если — изоморфизмы 21; на 95;ф, то ? — изоморфизм 21 на 95.
