Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
проектирование (5 на Так как Si ? 2, то найдется гомоморфизм
Ii- ®уяг = а?г (і?І). (4)
По основному свойству декартовых произведений для гомоморфизмов (4) найдется гомоморфизм г]: 25->- удовлетворяющий условиям Ii = TJTti (І ? I), которые, ввиду соотношений (4), дают
Yiti = OHljtI (і 6 I),
Т. е. у = ОСТ).
Мы показали, что а есть [] S-морфизм. Аналогично пусть задан гомоморфизм у: 21 © (© ? Тогда
© изоморфна подсистеме системы ЗЗЇ ? [J Se и у можно рассматривать как гомоморфизм в [jSe-систему ЯК. Согласно доказанному а есть [] ?е-морфизм. Поэтому найдется гомоморфизм 25 -> 5Ш, удовлетворяющий требованию у = т. е. а является и S [J Se-морфизмом.
Реплики в квазимногообразиях алгебр допускают более конкретное описание. Здесь мы "ограничимся следующим замечанием.
Пусть Й — некоторое квазимногообразие алгебр фиксированной сигнатуры й и 1 — какая-то алгебра указанной сигнатуры, С точностью до изоморфизма все гомо- ,§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
297
морфные образы її исчерпываются фактор-алгебрами вида ЇЇ/0, где 0 — конгруенция на її. Обозначим через S совокупность тех конгруенции 0, для которых ЇЇ/0 ? ff, и пусть
б9: її —> ЇЇ/0 (Є ЄЯ) (5)
— канонический гомоморфизм її на ЇЇ/0. Гомоморфизмы (5) порождают гомоморфизм
б: Я->ПЯ/0 (в ?5), (6)
ядро которого есть конгруенция х, равная пересечению всех конгруенций 0 ? 5. Так как сомножители ЇЇ/0 в произведении (6) принадлежат квазимногообразию Я, то б есть гомоморфизм її на алгебру її6, снова принадлежащую Я. Отсюда следует, что її/х изоморфна її6 ? ff, и потому її/и 6 ff. Таким образом, среди всех конгруенций на її, фактор-алгебры по которым принадлежат квазимногообразию Я, имеется наименьшая конгруенция х. Покажем, что її/х есть ff-реплика її, а канонический гомоморфизм 6«: її ЇЇ/х есть ff-морфизм. Рассмотрим какой-нибудь гомоморфизм у: її <5 алгебры її на произвольную ff-алгебру Этот гомоморфизм порождает изоморфизм ф: її/сг —>» (5, где о — ядерная конгруенция у. Из (5 ? Я следует її/а Є ff, и потому х ^ а. Обозначая через р канонический гомоморфизм її/х на її/а, будем иметь у = би (рф), что и требовалось.
Указанная наименьшая конгруенция х называется Ш-конгруенцией на її. Она зависит от выбора квазимногообразия ff. Например, если алгебра її простая и її $ ff, то конгруенция x единичная. Если же її ? ff, то конгруенция x нулевая.
Конгруенция x на алгебре її называется квазивербальной, если существует квазимногообразие ff, для которого каноническое отображение її —її/х является ff-морфиз-мом. Конгруенция X называется вербальной, если существует многообразие ff, обладающее указанными свойствами. Этим же путем определяются понятия квазивербальной и вербальной фактор-системы произвольной системы.
Укажем несколько примеров ff-конгруенций. Пусть ff—квазимногообразие полугрупп с сокращением. Согласно сказанному на любой полугруппе її существует наймень- 298
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
шая конгруенция х, для которой Я/х есть полугруппа с сокращением.
В п. 8.3 было доказано, что класс полугрупп, вложи-мых в группы, является квазимногообразием. Поэтому на каждой полугруппе Я существует наименьшая конгруенция, фактор-полугруппа по которой, вложима в группу.
Явные конструкции Я-конгруенций часто встречаются в теории групп. Например, если Я—многообразие абеле-вых групп, то Я-репликой неабелевой группы является ее фактор-группа по коммутанту. Взяв в качестве Я класс всех метабелевых групп, легко убедиться, что Я-репликой произвольной группы": Я будет фактор-группа Я/Я3 (по второму члену нижней" центральной цепи группы Я).
Некоторые дополнительные свойства вербальных конгруенций будут указаны ниже в п. 14.2.
С понятием Я-конгруенции тесно связано пока мало исследованное понятие достижимости класса (Таму-р а [61]). Пусть задано квазимногообразие Я сигнатуры Q и какая-нибудь алгебра Я этой же сигнатуры. Алгебра Я называется Я-інеразложимой (Я-indecomosable), если Я-конгруенция X на Я единичная.
Допустим, что Я-конгруенция х не единичная. Тогда алгебра Я распадается на смежные х-классы, некоторые из которых могут оказаться подалгебрами алгебры Я. Если все эти подалгебры Я-неразложимы, то к л а с с Я называется достижимым на Я, а алгебра Я — Я-достижимой. Класс алгебр 2 называется Я -достижимым, если он состоит лишь из Я-достижимых алгебр. Если класс S Я-достижим, то квазимногообразие Я называется также достижимым на классе 8.
T а м у р а [61] показал, что единственным нетривиальным многообразием полугрупп, достижимым на всех полугруппах, является многообразие коммутативных идемпотентных полугрупп, описываемое тождествами
x-yz = ху-Z, X2 = х, ху = ух.
Им же показано, что не существует нетривиального многообразия групп, достижимого на всех группах. § 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ и композиции 299
Это же справедливо и для абелевых групп. Вопрос о нахождении многообразий группоидов, колец и решеток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решеток, остался в указанной работе Тамура открытым. Открытым остался и вопрос о многообразиях и квазимногообразиях полугрупп с несколькими выделенными элементами, достижимых на классе всех таких полугрупп *).
