Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.
рассматривая - 35а и заме-
Теорема и a: Sl Sltl систем на их S <р: SI ->- 35, то удовлетворяющий = фр (рис. 2).
В самом деле, эпиморфизм ф^: SI чая, что эпиморфизм а является Й-морфизмом, заключаем, что требуемый эпиморфизм I существует. Из теоремы 1 вытекает важное Следствие 2. Ш-реплики изоморфных систем изоморфны.
Действительно, пусть ф— изоморфизм системы SI на систему 35 и a: р: 35^ физмы. Тогда, согласно теореме физмы ?: Stg->95^ и rj: 3?-ношениям
«? = фР, РЛ
Рис. 2.
- какие-то й-мор-
1, найдутся эпимор-удовлетворяющие COOT-
ф_1а.
Отсюда следует, что
a?rj = a,
Pr1E = Р, § 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
291
т. е. |т), т]| являются тождественными отображениями Sg и соответственно Sg на себя. Таким образом, гомоморфизмы г] взаимно обратны и ^ — искомый изоморфизм Sf^ на 55g. Второе утверждение следствия 2 доказывается аналогично.
Итак, если некоторая алгебраическая система 21 имеет реплику в каком-то классе Я, то эта реплика определена с точностью до изоморфизма однозначно.
Фиксируя 21 и меняя класс Я, мы будем менять, вообще говоря, и реплику 2lg. При этом выполняется следующий «закон ассоциативности».
^Теорема 3. Если 21$ — реплика системы 21 в классе ft и (21?)? — реплика системы 21 ^ в подклассе 2 = Я, то система (21 g) о есть реплика 21 в классе
Доказательство очевидно.
Из определения реплик видно, что Я-реплика системы 21 — это в известном смысле «наибольший» из гомоморфных образов системы 21, лежащих в классе Я. Может случиться, что в каком-то классе Я заданная система и не будет иметь реплики. Например, может оказаться, что в классе Я вообще нет систем, являющихся гомоморфными образами заданной системы. Достаточные условия существования реплик можно непосредственно вывести из результатов предыдущего раздела, если воспользоваться следующей связью между репликами и совокупностями определяющих формул.
Лемма 4. Пусть заданы класс Я алгебраических систем сигнатуры Q и какая-нибудь система 21 этой же сигнатуры. Каждому элементу а Є 21 ставим в соответствие символ za и обозначаем через Da (21) совокупность всех тех атомарных формул сигнатуры fl от переменных Zai которые истинны в 21 при отображении Za-+ a (Da (21) — атомарная диаграмма системы 21). Если порождающие символы Za и совокупность формул Da (21) определяют в классе Я некоторую систему SB, то 95 является. Я-репликой системы 21.
Пусть Za Ъа— каноническое отображение порождающих символов в систему 95. Рассмотрим отображение а: а —Ъа системы 21 в систему 95. Если для некоторых аи . . ., ат из 2t P (аи . . ., ат) = И (Р 6 Q), то
19* 292
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
формула P (Zai, . . ., Za^ принадлежит Da (21) и потому P (bai, . . ., Ьат) = И. Это показывает, что отображение а является гомоморфизмом. Так как при нем образ 21 в содержит элементы Ьа, порождающие систему 35, то а есть гомоморфизм 21 на 35.
Предположим теперь, что нам задан какой-то гомоморфизм у: а-+ са системы 21 в некоторую й-систему (S. Покажем, что отношение состоящее из всевозможных пар вида фа, са), является гомоморфизмом 35 в
Пусть Ъа = bai для некоторых a, CL1 ? 21. Тогда формула za = Z01 должна быть следствием в классе St совокупности определяющих формул .D0 (2t). Но все формулы из Da (21) истинны в © при отображении Za са, так как отображение у: а-> са есть гомоморфизм. Поэтому формула za = Zai также должна быть истинной в S, т. е. са = cO1. Тем самым показано, что отображение | однозначно. Аналогичным путем доказывается, что | есть гомоморфизм 35 в
Ясно, что гомоморфизм ? удовлетворяет соотношению 7 = а?, и потому а есть St-морфизм 21 на 35.
Теорема 5. Для того чтобы в классе St алгебраических систем сигнатуры ?2 любая система 2t этой сигнатуры имела Ш-реплику, необходимо и достаточно, чтобы класс Я был наследственным, мультипликативно замкнутым и содержал единичную систему.
Достаточность вытекает из теоремы 4 п. 11.2 и леммы 4. Поэтому надо доказать лишь необходимость условий. Итак, пусть в классе St любая система 2t сигнатуры Q имеет реплику. Берем в качестве 2t единичную систему SIe. St-реплика 21е должна быть гомоморфным образом 2te. Но гомоморфными образами единичной системы являются лишь единичные системы, и потому
21е 6 St.
Докажем наследственность St- Пусть 95 — некоторая подсистема ^-системы St и а: 95 3? — соответствующий St-морфизм. Тогда для тождественного вложения є: 95 —Sl должен существовать гомоморфизм ?: 35g->St,
удовлетворяющий условию є = Так как а есть эпиморфизм и є — тождественное отображение 95 на себя, то из е = а| следует, что отображения а, ? взаимно обратны, ,§ 11]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
293
и потому система 35 изоморфна системе 35$, принадлежащей классу Я.
Остается доказать мультипликативную замкнутость класса Я. Пусть
SI-11?? (іб/). («і Є Я).
Рассмотрим й-морфизм а:
и проектирования
Tti: 21(ІЄ/). ' Так как 2Гг ? Я, то существуют гомоморфизмы
. If. (/?/), (1)
удовлетворяющие соотношениям
я* = а?г. (2)
Согласно основному свойству декартовых произведений (п. 2.5) для системы гомоморфизмов (1) существует гомоморфизм |: 21g—>2Г, удовлетворяющий требованиям
