Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
358
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
где j (j б J) — заданные системы. Отсюда
Многообразия, не порождаемые никакой своей свободной системой конечного ранга, были названы в п. 13.2 многообразиями бесконечного базисного ранга. Пример такого многообразия был указан в дополнении 2 к § 13.
Мы знаем, что класс систем не обязан быть множеством, имеющим определенную мощность, даже если системы рассматриваются с точностью до изоморфизма. Допустим, что класс систем й = (їїг |t ? I) является множеством. Согласно п. 13.1 свободные системы многообразия, порожденного множеством й, являются одновременно и свободными системами реплично полного класса S [] порожденного множеством Ш. Все системы указанного реплично полного класса, в том числе и все свободные системы, являются подсистемами декартовых произведений систем множества Йе. Сколько сомножителей надо взять, чтобы произведение заведомо содержало свободную систему заданного ранга ш? Ответ дает
Теорема 2. Пусть — свободная система ранга m
л
в многообразии 3?, порожденном множеством систем fi = {їїг | г 6/}. Тогда с точностью до изоморфизма
Пусть M—какое-нибудь множество мощности ttt. Обозначим через Li совокупность всевозможных отображений Y- M—> її?, т. е. положим Zj = Stf. Переходя к мощностям, получим
Каждому у ^L і мы поставим в соответствие одну и ту же систему її,-, но систему, отвечающую у, будем рассматривать как экземпляр їїг номера у и этот экземпляр будем обозначать символом SIj7. Таким образом, мы имеем совокупность отображений
((Єї).
iiit
(1)
у: И,? (v;e^i).
(2) § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
359
Этим отображениям отвечает однозначно определенное отображение
Pt: М-±П%іг =%'iLl1-
VtLi
В свою очередь, совокупности отображений ?i (і ? I) отвечает однозначно определенное отображение
а: Л^ПІІИ^ПИІЧ
г ?
удовлетворяющее требованиям
у = аяі7 (у (і Li, г Є/), (3)
где яг7—проектирование системы на сомно-
і, v
житель SIj7.
Обозначим через 95 подсистему системы Я, порожденную элементами fem — та (то^М). Остается доказать, что 95—свободная в Il система ранга ш. Для этого достаточно показать, что совокупность элементов bm (т (j М) в системе SI является Я-независимой, так как из независимости относительно Я вытекает, в силу теоремы 3 из п. 12.2, и независимость относительно
Hs
Возьмем произвольное отображение ф: ?>т —Я г- (т?М). Соответствующее отображение те—э-ЬтфбЯг должно совпадать с каким-то отображением (2) и потому
Ьту = ту (т?М).
В силу (3) отсюда получаем
Ьт ф = ту — mcm j7 — Ьтщу,
т. е. отображение ф продолжаемо до гомоморфизма лг-т: SI—> 91 г и тем самым до гомоморфизма 95 что и требовалось.
Из теоремы 2 следует, что если многообразие порождается одной системой Я, то для свободной в этом многообразии системы ^m ранга ш имеем формулц
Sw s Я"1™ (4) 360
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Условимся говорить, что совокупность систем локально конечна, если любое конечное множество элементов произвольной системы из этой совокупности порождает конечную подсистему. Совокупность систем будем называться равномерно локально конечной, если для каждого конечного тп существует такое конечное п = ф (тп), что произвольные m элементов любой системы из заданной совокупности порождают подсистему, мощность которой не превосходит п.
Теорема 3. Многообразие 501 конечной сигнатуры тогда и только тогда локально конечно, когда оно порождается равномерно локально конечной совокупностью систем. Из локальной конечности произвольного многообразия вытекает его равномерная локальная конечность.
Необходимость. Пусть многообразие локально конечно. Тогда мощность его свободной системы %т конечного ранга т будет конечным числом ф (т). Всякая 501-система, порожденная т элементами, является гомоморфным образом свободной системы %т и потому имеет мощность, не превосходящую ф (т) = I^mТем самым доказаны необходимость условий и последнее утверждение теоремы 3.
Достаточность. Пусть многообразие 931 порождается равномерно локально конечным классом Я. Тогда для подходящего множества I и отображения / -v Я имеем
&,«=[№ (ІЄІ, BiGR).
Предположим, что т конечно, и пусть V1, . . ., Vm— свободный базис системы Зт, л, — проектирование произведения П^г на Обозначим через подсистему, порожденную в ЭДг элементами V1Tiu VmRi. Тогда
(І6І, ®гЄ931).
Отсюда следует, что %т есть свободная система в многообразии S, порожденном системами (і Є I). Все эти системы имеют конечную сигнатуру и мощность каждой из них не превосходит некоторого конечного числа ф (т). Отсюда следует, что среди этих систем существует лишь конечное число попарно не изоморфных. Пусть это будут системы 95j, . . ., 33*. Мы видим, что многообразие 2 § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
361
порождается системами SS1, . .., и ^rm- свободная система в Согласно формуле (1)
т. е. система ^m заведомо конечная.
Каждая ЯК-система, порожденная т элементами, является гомоморфным образом системы ^m, и потому мощность каждой такой системы не превосходит конечного числа |gm j.
