Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ф: vfi-+vto (і?І) (9)
может быть продолжено до гомоморфизма ф: §70 %/а, причем соотношения (9) показывают, "что ф совпадает с гомоморфизмом є: 3/0 %/а, а это и значит, что
gf/e < %/а.
Итак, доказана следующая основная Теорема 2. Отображение (1) частично упорядоченной совокупности X (%) всех вполне характеристических фактор-систем свободной счетного ранга системы %
*) То есть когда 0 с а. !/2 24 А. И. Мальцев 370
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
многообразия .331 на частично-упорядоченную совокупность M (Sft) всех подмногообразий многообразия Sft является антиизоморфизмом X (?) на M (Sft).
Выше отмечалось, что совокупность M (Sft) является решеточно упорядоченной, причем соответствующая решетка Af (Sft) полная.
Из теоремы 2 следует, что совокупность X (?) также решеточно упорядоченная и решетки X (O) и M (Sft) антиизоморфны.
В случае, когда рассматриваются многообразия алгебр, фактор-системы Я/9 однозначно определяются соответствующими конгруенциями 9 (п. 2.4). Если фактор-алгебра Sl/9 характеристическая или вполне характеристическая, то и конгруенция 9 называется характеристической или, соответственно, вполне характеристической. Из определения понятий характеристической и вполне характеристической фактор-систем непосредственно получаем
Следствие 3. Конгруенция 9 на алгебре Sl тогда и только тогда характеристична (вполне характеристична) , когда
xQ у жф9г/ф (X, у? 21) (10)
для любого автоморфизма (эндоморфизма) ф: 21—>21.
Необходимость очевидна, так как (10) можно переписать в виде
хв — г/9 =Ф хф9 = г/ф9,
т. е. в виде формулы (2) при Р, совпадающем со знаком —. Предположим, обратно, что для некоторой конгруенции 9 и эндоморфизма ф утверждение (10) истинно. Надо получить соотношение
F (a?, ..., anQ) = а9 F (йздЭ, ..., а„ф9) = аф9 (F^Q).
Но из F (?i9, ..., o„9) = я9 вытекает F (ai, ..., ап)9 = = ав, а отсюда на основании (10) заключаем, что F ja1, ..., 0п)ф9 = и потому F (аіф9, ..., а„ф9) = йф9.
В терминах теории конгруенций теорему 2 можно переформулировать теперь в таком виде:
Следствие 4. Пусть % — свободная счетного ранга алгебра многообразия алгебр 5Ш. Тогда отображение
Q-*KI(№) § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
371
является антиизоморфизмом решетки вполне характеристических конгруенций алгебры % на решетку всех подмногообразий многообразия 9ЇІ.
Для доказательства достаточно заметить, что
2t/0<2t/o<=>0 ^ о
для любых конгруенций 9, о на произвольной алгебре И.
Согласно п. 11.3 конгруенция 0 на какой-то алгебре 21 называется кеазивербалъной (вербальной), если канонический гомоморфизм 21 21/0 является Я-морфизмом для подходящего квазимногообразия (многообразия) ff. Ясно, что здесь вместо «подходящего» можно говорить «порожденного алгеброй 21». Из доказанных выше свойств вполне характеристических конгруенций следует, что понятия «вербальная» и «вполне характеристическая» для конгруенций на в себе свободных алгебрах равносильны. В общем случае верна
Теорема 5. Каждая квазивер-балъная фактор-система 21/0 произвольной системы 2t является вполне характеристической.
Пусть ф — какой-нибудь эндоморфизм 21. Так как по условию отображение 0: 2t -н» 2t/0 есть Я-мор-физм, то (см. рис. 1) найдется эндоморфизм I системы 21/0, который удовлетворяет требованию ф0 = 0?. Отсюда получаем
PiaiQ, ..., anQ) =^Pia1Ql, ..., апЄ?) =ф P (я^Є, ..., ап<рЄ),
где P Є =} и ..., ап — произвольные элементы системы 2t.
Легко убедиться, что квазивербальная конгруенция не обязана быть вербальной. Наример, пусть Я — квазимногообразие всех абелевых групп без кручения и 21 = = ^X Sp, где 95 — свободная абелева группа счетного ранга, а 3Р — циклическая конечного порядка р > 1. Ясно, что Qp есть наименьшая инвариантная подгруппа в 2t, фактор-группа по которой принадлежит Я. Следовательно, фактор-группа St/Зр квазивербальная. Если бы она была вербальной, то она принадлежала бы некоторому
25*
Hl
Q
•Ш/в
ш
в
Рис. 1.
W/9 372
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
многообразию S. Это многообразие содержало бы все фактор-группы 95, в том числе и саму группу 51, вследствие чего отображение Ш ->- $/? не было бы й-морфизмом.
14.3. Минимальные многообразия и квазимногообразия. Совокупность (3 тождеств (квазитождеств) данной сигнатуры Q называется эквационально полной или !-полной (соотвественно квазиэквационалъно полной или Q-пол-ной), если все формулы из <2 истинны в какой-то неединичной ?2-системе, но любое другое тождество (квазитождество) сигнатуры Q или является формальным следствием совокупности <г>, или же вместе с нею образует совокупность формул, истинную лишь в единичной Q-системе.
Многообразие (квазимногообразие) Ж сигнатуры Q называется минимальным или атомарным, если Ж является атомом в решетке всех многообразий (квазимногообразий) сигнатуры ?2, т. е. если 5Ї содержит неединичную систему, но внутри Й уже нет никаких отличных от Я подмногообразий (подквазимногообразий), отличных от единичной системы.
Сравнивая изложенные определения минимальности и полноты, приходим к заключению, что совокупность тождеств (квазитождеств) тогда и только тогда 1-полная (соответственно Q-полная), когда эта совокупность определяет минимальное многообразие (минимальное квазимногообразие).
