Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
из которого следует, что система изоморфна подходящей фактор-системе 3/6*). Я-свободные системы определяются лишь с точностью до изоморфизма. Однако отвечающие им фактор-системы %/Q будут одинаковы.
Действительно, пусть 2?, Щ — какие-то свободные системы счетного ранга в Я и д>, ф* — отвечающие им Я-
*) Действительно, пусть 0 — ядерная конгруенция, отвечающая й-морфизму ф, и о — канонический гомоморфизм 5 на g/б. По определению Ж-реплики существует гомоморфизм I на %JQ
такой, что с = ф|. Используя определение фактор-системы S/6, легко проверить ЯЮ I есть изоморфизм.— Прим. ред. § 14] ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
367
морфизмы. Нужно показать, что ядерные конгруенции 9, 6*, определяемые й-морфизмами ф, ф*, совпадают. Рассмотрим гомоморфизм]^: для которого
ф* =фі. Если а, 6 6 g и а = й (Э), то аф = by, откуда аф? = 6ф?, т. е. аф* = btp*. Таким образом, из а = b (0) следует а = b (Q*). Верно и обратное, поэтому 0 = 0*.
Итак, отображение
и: %IQ->KI(%/9) (1)
является взаимно однозначным соответствием между в себе свободными счетного ранга фактор-системами %/Q и подмногообразиями основного многообразия 5Ш.
Найдем теперь условия, при которых фактор-система %/Q является в себе свободной системой счетного ранга. Фиксируем в S* какой-нибудь свободный базис P1, v2, ... Если %IQ принадлежит какому-то подмногообразию й, то канонический гомоморфизм g %/Q будет Й-морфиз-мом. й-морфизм свободной системы на свободную переводит свободный базис і в свободный базис. Поэтому фактор-система g/0 тогда и только тогда является свободной системой счетного ранга, когда последовательность Уі0, V2Q, .. . образует свободный базис в %!в.
Произвольная фактор-система SE/9 системы SE называется характеристической, если она сохраняется при любом автоморфизме ф системы SE, т. е. если
PiaiQt ..., ап0) =$-Р (a^Q, ..., апф) (2)
(P?{Q, = }, аь ..., апЄЯ).
Если условие (2) выполняется при любом эндоморфизме ф системы Sl (т. е. гомоморфизме в себя), то фактор-система SE/9 называется вполне характеристической.
Теорема 1. Для того чтобы фактор-система ST/9 какой-нибудь в себе свободной ранга ш системы Sl была также в себе свободной ранга Ш системой, необходимо и достаточно, чтобы фактор-ситема Sl/6 была вполне хар актер истическо й.
Необходимость. Пусть Vi (г ? I) — свободный базис St, ф — какой-то эндоморфизм системы St, и для некоторых at, . . ап ? St имеем
PiaiQ, ..., O7JSi) = И (Р(Е{?2, =}). (3) 368
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Выражая элементы аь .. ., ап через базисные, получим = •.., Vy) (А-= 1, п), (4)
где va, . .., Vy—различные элементы базиса и fu .. ., fn — подходящие термы сигнатуры Q. Переписывая соотношение (3) в виде
P(fi(v*, vv) Q, ..., Uivtx, ..., vy)Q ) = И (5)
и принимая во внимание, чго отображение а—>ав — гомоморфизм, получим
P Ifi (vaQ, ..., VyQ), ..., fn (vaQ, yv0)) = И. (6)
По условию совокупность {ViQ\i?I} является свободным базисом в 21/9. Поэтому из (6) следует, что в 2Е/0 истинно тождество
P (fi (ха, • • ¦ , Ху), . . . , /п (ха, • • ¦ j Xy)) = И.
Полагая здесь Xj = г^-фО (/ = а, ..., у) и производя замену (4), получим соотношение
P («!фв, . . . , Й„ф0) = И,
показывающее, что фактор-система 21/6 вполне характеристична.
Достаточность. Пусть {vt ] і ? I) — свободный базис системы 21 и И/9 — вполне характеристическая фактор-система. Надо доказать, что совокупность элементов V1Q (і ЄI) свободна в 21/0, т. е. что для произвольных термов fu ..., /„ из соотношения (6) вытекает соотношение
P (fi (aaQ, . . ., ayQ), ..., fn (aaQ, ..., ay 6)) =И, (7)
где aa, ..., av —произвольные элементы 2t.
Элементы vi свободны в 21. Поэтому отображение
ср: Vi-Xti (i = ..., у)
может быть продолжено до эндоморфизма ф: SX —> St. Поскольку отображение а—>аВ является гомоморфизмом, то из (6) следует (5). Так как фактор-система 21/0 вполне характеристическая, то из (5), в силу (2), получаем
P (fi (Va, ..., Vy) ф6, . . . , fn(va, ¦ • • , Vy) ф6) = И § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
369
и, следовательно,
^(/і(Уаф0| ^Ф0)' •••> U (Va ф0, VyfpQ)) = И,
что совпадает с (7).
Теорема 1 позволяет утверждать, что отображение (1) является взаимно однозначным соотвествием между множеством всех вполне характеристических фактор-систем системы % и множеством всех подмногообразий многообразия SR.
Как уже упоминалось, множество M (SJi) подмногообразий является частично упорядоченным относительно теоретико-множественного включения классов. С другой стороны, совокупность всех фактор-систем системы % также частично упорядочена, согласно правилу: 3/0 ^ %/а тогда и только тогда, когда тождественное отображение
* Л
8: 3 3 индуцирует гомоморфизм є: 3/0-»- %/а*). Покажем, что отображение (1) обращает частичный порядок, т. е. что для любых вполне характеристических фактор-систем %/В, %/а имеем:
g/Є < %/а о KI (3/0) = KI (%/о). (8)
В самом деле, пусть %/в^С%/а. Тогда в силу канонического гомоморфизма %/Q —>%/а получаем I (3/0) S 1(%/о) и, следовательно, KI (3/0) Э KI (%/а). Обратно, пусть KI (%/%) ^ KI (%/а). Рассмотрим свободный базис Vi (i ?I) системы %. Так как g-/0—вполне характеристическая система, то совокупность {г^9[г?/} является ее свободным базисом. По условию система %/а принадлежит многообразию, порожденному системой %/Q. Поэтому отображение
