Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ж
Ж
я
Рис. 1.
Л = jt TTn- 364
МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. VI
содержащая подсистемы, соотвественно изоморфные системам 95,
Достаточность. Пусть в квазимногообразии К любые две системы содержатся в подходящей третьей й-системе. Согласно теореме 6 из п. 12.1 отсюда следует, что для любой совокупности неединичных й-систем Sti (і € Г) найдется й-система, содержащая подсистемы, соотвественно изоморфные заданным системам Stj.
Обозначим, как всегда, через (?й совокупность всех квазитождеств, истинных в классе й, и пусть R — совокупность всех остальных квазитождеств заданной сигнатуры, которые ложны в Й. Для каждой формулы А 6 R выберем в й какую-нибудь систему (3 ^, в которой формула А ложна. Согласно только что сделанному замечанию в й найдется система її, в которую изоморфно вкладывается любая из систем <&Так как квазитождество Jk ложно на ложно и в системе її, т. е. (?її П
{] R = 0. Из її ? й вытекает, что @її = #й. Поэтому @її = (?й, и, значит, квазимногообразие й порождается системой її.
Необходимость. Пусть квазимногообразие й порождается системой її. Согласно теореме 4 из п. 11.1 Я состоит из единичной системы и всевозможных подсистем фильтрованных степеней системы її. Берем произвольные неединичные Й-системы 25, (S, и пусть
где Dl1 D2 — подходящие фильтры. Рассмотрим систему ® = U (UWDl)ZDt.
Ясно, что (© 6 Я- Далее, в © канонически вложена система П її/D1, а вместе с нею в €> вложена и система 35. С другой стороны, система її канонически вложена
вПИ/D
і • Поэтому содержит подсистему [J її /Z)2, а следовательно система @ содержит и подсистему
Теореме 9 можно придать иную форму. Действительно, согласно п. 12.1 любая пара неединичных систем квазимногообразия S содержится в подходящей Й-системе в том и только том случае, когда все й-композиции неединичных й-систем инъективны. Отсюда получаем § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
365
Следствие 10. Квазимногообразие Я тогда и только тогда порождается индивидуальной системой, когда Я-композиции любых неединичных Ш-систем инъективны.
Оговорки о неединичности систем в теореме 9 и следствии 10 существенны. Например, алгебра
я = ({і, 2, з, ...}, +>
не содержит единичных подсистем и потому на ней истинно квазитождество XjrX = X-^y = Z, показывающее, что ни одна неединичная алгебра, принадлежащая квазимногообразию KQ^.I, не содержит единичной подалгебры.
В п. 12.1 был указан пример квазимногообразия Я, в котором существуют неинъективные Я-композиции неединичных Я-ристем. Согласно следствию 10 Я может служить и примером квазимногообразия, не порождаемого никакой отдельной системой.
14.2. Решетка многообразий. Взглянем теперь на совокупность всех многообразий сигнатуры Q как на единое целое. Обозначим эту совокупность через Mq. Каждое многообразие является аксиоматизируемым классом систем. Совокупность всех аксиоматизируемых классов систем сигнатуры Q обозначим Aq.
Ясно, что пересечение любой совокупности многообразий есть многообразие и что среди многообразий в *Mq есть наибольшее — тотальное или абсолютное многообразие всех систем сигнатуры ?3, и наименьшее — тривиальное многообразие, состоящее лишь из одной единичной системы. Поэтому Mq есть полная нижняя полурешетка с единицей, а следовательно, Mq можно рассматривать и как полную решетку с нулем и единицей. Поскольку операция пересечения в Aq и в Mq одна и та же, то Mq является нижней подполурешеткой решетки Aq; Однако Mq не есть ггодрешетка решетки Aq, так как операция решеточного объединения классов в Aq и в Mq определяются по-разному и в общем случае отличаются от теоретико-множественного объединения классов. Далее мы будем рассматривать Mq как частично упорядоченное множество с теоретико-множественным отношением включения классов в качестве отношения частичного порядка. 366
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
В приложениях обычно рассматривается не множество Mq1 а совокупность всех подмногообразий какого-нибудь фиксированного многообразия SOL Эту совокупность мы обозначим через M (SJt) и структуру ее рассмотрим более подробно.
В многообразии SJi и в каждом его подмногообразии Я ^ SJi существуют свободные системы счетного ранга, которые мы обозначим, соответственно, через ^sgj = =? и gjj. Согласно п. 13.1 многообразие Я однозначно определяется системой 3?. Вопрос о том, какие из ЗЛ-систем являются свободными в некотором многообразии также был решен выше: это в себе свободные системы. Итак, существует взаимно однозначное соотвествие между в себе свободными SJi-системами со счетным в себе свободным базисом и подмногообразиями многообразия SJl, определяемое формулой
-^?»
причем взаимную однозначность здесь следует понимать в том смысле, что изоморфным системам отвечают равные многообразия, а не изоморфным — различные.;
Фиксируем теперь конкретную свободную;: систему счетного ранга % в основном многообразии SJi, и пусть Я — какое-нибудь подмногообразие в SJi. Согласно п. 12.2 соответствующая Я-свободная система есть Я-реплика системы g и потому существует Я-морфизм
