Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Какие же системы %п обладают свойством Предварительный ответ на этот вопрос дает
Теорема 4. В свободной системе S п конечного ранга п любая порождающая совокупность из п элементов является свободной тогда и только тогда, когда любой эпиморфизм Sп на себя является изоморфизмом.
Пусть (р: Sn Sn — какой-то эпиморфизм, не являющийся изоморфизмом, и пусть (V1, ... vn) — свободная порождающая совокупность элементов системы Sn- Тогда совокупность {^іф, . . г?пф} будет снова порождающей В Sn. Если бы последняя совокупность была свободной, то существовал бы изоморфизм г^: п, переводя-
щий V1, Vn соотвественно в г/4ф, . . ., vn<р. Так как гомоморфизмы ф, г}) совпадают на порождающей совокупности {i7b .. ., vn), то они должны совпадать и на Sn, т. е. ф = г^, что противоречит предположению.
Обратно, путь в Sn любая совокупность из п элементов, порождающая Sn, свободна, И путь ф: Sn ->• Sn — какой-либо эпиморфизм. Тогда элементы у4ф, .. ., упф порождают Sn и потому свободны в Sn- Поэтому должен существо-рать изоморфизм -фг Sn -> Sn-, переводящий V1, . . ., Vn § ІЗ]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
347
соответственно в у4ф, . . упф. Так как гомоморфизмы ф, ф совпадают на порождающих элементах р,, ... рп, то ф = = -ф, что и требовалось.
В качестве примера вычислим га и гъ для многообразия всех полугрупп. Это многообразие определяется одним тождеством xy-z = x-yz (см. п. 3.1). Поэтому Га ^ 3.
? G другой стороны, совокупность всех чисел Кэли по умножению составляет, как известно, группоид <3, в котором любые два элемента порождают полугруппу (см. п. 4.3). Если бы многообразие всех полугрупп имело аксиоматический ранг 2, то, согласно следствию 1, группоид <3 был бы также полугруппой. Так как группоид @ не" ассоциативен, то ra = 3.
Переходя к вычислению гь, заметим, что в многообразии всех полугрупп свободная полугруппа ранга 1 удовлетворяет тождеству ху = ух, которое истинно не во всякой полугруппе. Следовательно, гъ ^ 2. С другой стороны, свободная полугруппа ранга 2 содержит подполугруппу,"' изоморфную свободной полугруппе счетного ранга. В силу следствия 2 гъ ^ 2, и потому тъ = 2.
Аналогично для многообразия всех групп имеем: ra = = 3, гъ = 2.
Для некоторых многообразий вопрос о том, какие значения могут принимать га, гь в подмногообразиях, оказывается трудным. Например, до сих пор неизвестно, существует ли многообразие групп, для которого ra = OO.
По аналогии аксиоматическим"квазирангом да — да (S) квазимногообразия Я назовем наименьшее число п такое, что Я может быть охарактеризовано совокупностью квазитождеств, каждое из которых содержит не'более п свободных переменных. Если такого натурального числа нет, то полагают qa = oq.
Обозначим через (?Я совокупность всех квазитождеств и через (?ПЯ совокупность квазитождеств ранга п (сигнатуры Я), истинных на произвольном классе Я. Полагая
^ = KQn(R) («=1,2,...), получим цепочку квазимногообразий
Я(1) э Я(2) => ... а Я(П)
Соотношение Я = П Я(П> равносильно утверждению, что Я — квазимногообразие. Как и выше, имеем 348
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Следствие 5. Система И тогда и только тогда принадлежит квазимногообразию fi(n>, когда этому квазимногообразию принадлежит любая подсистема из 21, порождаемая какими-нибудь п элементами 21.
В каждом квазимногообразии fi существуют свободные системы ^fn (fi) произвольного ранга 'п. Полагая
%n)=KQ%n(R) (п = 1,2, ...), получим возрастающую цепочку квазимногообразий ^m ^ ^(2) S ... ^ й(д) S . .. = fi.
Если для некоторого п fi(n-i) ф fi(n) = fi, то п называется базисным квазирангом fi и обозначается через fIb = 1ь (Щ- Если же для любого натурального п fi<7i)=?fi, но U fi(n) = fi, то полагают qb ~ со. Однако может случиться, что Ф fi- Тогда квазимногообразие fi называется неточным и базисный квазиранг его не определен.
Рассмотрим, например, квазимногообразие ©с полугрупп с сокращением. Оно определяется квазитождествами
x-yz= xy-z, xz — yz-*x = y, zx= zy-*-x= у,
и потому qa ^ 3. Возьмем в качестве системы 21 совокупность ненулевых чисел Кэли с операцией умножения. Применяя следствие 5, убеждаемся, что qa > 2. Таким образом, Qa (<2>с) = 3. Свободная полугруппа (<5С) коммутативна, поэтому qb > 1. С другой стороны, ?Ь содержит свободные подполугруппы любого конечного и счетного рангов. Поэтому либо qb ~ 2, либо квазимногообразие <3С неточное. Покажем, что справедливо именно последнее предположение. В самом деле, легко проверяется, что b ^f2 истинно квазитождество
хгу2 = г2 -*¦ ху = ух,
не выполняющееся, например, в симметрической группе являющейся (как и любая группа) относительно умножения полугруппой с сокращением.
Примерами точных квазимногообразий могут служить квазимногообразия В частности, для©с(2) имеем qa = = 3, qb= 2.
13.3. Многообразия уноидов. Алгебра, сигнатура которой состоит из m унарных функциональных симво- § із]
ойііще свойства
349
лов, называется т-уноидом. Совокупность многообразий ш-уноидов при nC#> 2 остается достаточно богатой и в то же время изучение ее строения может быть продвинуто довольно далеко. Основой служит соответствие между многообразиями ш-уноидов и полугруппами с выделенными ш порождающими элементами.
