Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к построению требуемой системы 21'. При этом, чтобы одновременно доказать и инъективность произвольных абсолютно свободных амальгамированных композиций, мы несколько расширим задачу и предположим, что заданы не подсистемы 21 г уже существующей системы 21, а просто последовательность систем 21 і (і б Л с амальгамированиями вида (1). Фиксируем какое-нибудь 328
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
к Є I и положим (S?t = (S. Пользуясь конструкциями п. 2.2 для вложений одних систем в другие, мы можем для каждой системы St г построить изоморфную ей систему Si, содержащую подсистему Є и допускающую изоморфизм фг: SIi-*- И*, переводящий (Si в © и такой, что первоначальные амальгамирования уи: (Si (S7- переходят в тождественные отображения (S S Wf на © д= St*. Кроме того, можно предполагать, что других общих элементов, помимо элементов подсистемы (S, системы St*, Stf не имеют (і Ф j). Иными словами, это значит, что вместо произвольно заданной совокупности систем Sti с амальгамированиями можно рассматривать совокупность систем Sff, любая пара которых пересекается по одной и той же системе (S, причем амальгамирования являются тождественными отображениями (S на (S. Мы хотим для совокупности Stf (і 6 I) построить некоторую систему St*, которая потом окажется искомым абсолютно свободным амальгамированным произведением систем St?.
Каяїдому элементу а Є U 21* ставим в соответствие особый символ za. Атомарный терм
Fx (Za1, - - - , Za?i) (Fx Є «1, • • • , ^n Є U ST?)
называем правильным, если совокупность {аи...,ап} не содержится целиком ни в одной системе Stf. Произвольный терм / (za,, . .., zan) сигнатуры Q называем правильным, если все его атомарные подтермы правильные. Обозначаем через А* совокупность всех правильных термов и всех символов za, a ^ U Stf. На множестве А* определяем операции F* и предикаты Р* (F, полагая
F* (щ, . ..,ит) = F(uu . .., ит) (щ, . .., ит ? А*),
если терм F (U1, . . ., ит) правильный. Если этот терм неправильный, то он имеет вид F (zai, . . ., zam), где {ab . . ., ат} ^ Sti. Тогда по определению полагаем
F* (zai, .. ., zaJ = za (a = F (аи . .., ат)). Наконец, полагаем
Р* (zai» • • ¦ > zam) = P (aIi • • • > am)i если совокупность [аи . . ., ат) содержится в некоторой системе Sti, и полагаем Р* (U1, . . ., ит) = Л для всех остальных значений U1, . . ., ит из 4*, § 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
312
Определенная указанным способом система Si* = = (А*, ?2} содержит подсистемы SIi, образованные символами Za (а ? SI*). Ясно, что эти подсистемы в системе Si* удовлетворяют требованиям а) — д), причем отображения а za являются изоморфизмами Si* на SIi, согласованными на пересечениях, что и требовалось.
Итак, доказана не только теорема 3, но и инъектив-ность абсолютно свободных композиций с амальгамированиями.
Полагая в теореме 3 K = 0, получим необходимые и достаточные условия для того, чтобы система SI была абсолютно свободным произведением своих подсистем SIi.
Теорема 4. Пусть система SI есть абсолютно свободное произведение своих подсистем SIi (г ? /) над амальгамированной подсистемой (Ssfl^h 11 пусть 93 — некоторая подсистема в St, содержащая (S. Обозначим через 9Л подсистему, порожденную в Sll подсистемами 35г = 33 П Sli- Тогда 9Гс есть абсолютно свободное произведение своих подсистем 95 г над амальгамированной подсистемой © и 95 либо совпадает с 5Ш, либо является абсолютно свободным произведением Ж и подходящей абсолютно свободной подсистемы 2J из Si.
Прежде всего убедимся, что Ж Г) Sli = 95г. Атомарный терм F (W1, . . ., Wn) назовем правильным, если совокупность [W1, ..., wn} не входит ни в одну систему Slj. Если указанный терм неправильный, то его значение является элементом системы Sli, содержащей все элементы W1, ..., wn. Произвольный (не обязательно атомарный) терм /(W1, . . ., Wn) (Wi, Wn 6 и ^r) будем называть правильным, если все его атомарные подтермы правильные. По условию система 5Ш порождается подсистемами 951, и потому каждый ее элемент w есть значение подходящего терма / (W1,. . ., wn), где Wi, . . ., wn E 6 U 93;- Заменяя неправильные атомарные подтермы этого терма их значениями и повторяя эту операцию достаточное число раз, получим, что w есть значение правильного терма указанного вида или же ю ( В силу свойств в), г) значение терма, содержащего хотя бы один правильный подтерм, не принадлежит (J SI. Предположим теперь, что 5Ш п Sli Ф 95;, w ? 95;, а? ? SRfI Я». Тогда w = f(Wi, . . ., wn) ? SIil где .......wn єи®» и / — пра- 330
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
вильный терм OT W1, Wn, что противоречит только
что сформулированному утверждению.
Аналогичным образом проверяется, что подсистемы 25j внутри SJi обладают свойствами а) — д) теоремы 3, и поэтому ЯЛ является абсолютно свободным произведением систем 25 і над
Если 95 =F= 5Ш, то теорема доказана. Предположим, что это неверно. Элемент Ъ б 25 будем называть разложимым, если Ь 61_)95г или Ь = Fa . . ., Ьт) для подходящих Ьі,..., Ьт ? 95 и Fa ? ?2. Пусть {vx | Я Q L) = = F- совокупность всех неразложимых элементов 95 и F— подсистема, порожденная совокупностью F в 25. Убедимся, что F — абсолютно свободная система со свободными порождающими/ V\. Согласно п. 12.2 для этого достаточно убедиться, что в системе F: 1) соотношение вида
