Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
МНОГООБРАЗИЯ
Многообразия алгебраических систем — это классы, характеризуемые совокупностями тождеств, и теория многообразий равнгісильна теории систем тождеств. Хотя тождества представляют собою простейшие закрытые высказывания логического языка, язык тождеств все же достаточно богатый, чтобы на. нем можно было выражать многие тонкие свойства систем и их классов. Этим в значительной степени и определяется особое положение, занимаемое теорией многообразий в общей алгебре.
Наиболее глубокие результаты и проблемы теории многообразий связаны в настоящее время с изучением подмногообразий тех или иных конкретных многообразий, например многообразий групп или колец. В настоящей главе будут рассматриваться лишь свойства общих многообразий, технически менее сложные, но зато отличающиеся широтой применений.
§ 13. Общие свойства
13.1. Структурные характеристики. В основе теории многообразий лежит следующая теорема, докзанная для многообразий алгебр Г. Биркгофом еще в 1935 г.
Теорема 1 (Биркгоф [71). Для того чтобы непустой класс Я алгебраических систем был многообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
а) декартово произведение произвольной последовательности Я-систем есть Я-система,
22 А. И. Мальцев МНОГООБРАЗИЙ
tfti. Vi
б) любая подсистема произвольной] й-системы есть система,
в) любой гомоморфный образ произвольной Я-системы есть Si-система,
т. е. необходимо и достаточно, чтобы класс St был наследственным, мультипликативно и гомоморфно замкнутым.
Необходимость очевидна, так как тождества, посредством которых характеризуются многообразия, устойчивы относительно операций а), б), в).
Достаточность. Единичная система заданной сигнатуры Q является гомоморфным образом любой системы этой сигнатуры, и потому в силу в) единичная система заведомо принадлежит St. Принимая во внимание свойства а), б), отсюда заключаем, что класс $ реплично полный и, следовательно, в St существуют свободные системы произвольного ранга.
Обозначим через /St совокупность всех тождеств заданной сигнатуры, истинных во всех St-системах. Нам надо убедиться, что KISt = St. Так как включение St s KISt тривиально, то достаточно доказать включение KISi ?= St.
Пусть SI 6 KISl и I St I == т. Согласно сделанному выше замечанию в St существует свободная система свободный базис которой имеет мощность ш. Пусть za—>a(za?f$,a? St)— какое-нибудь отображение свободного базиса системы % на St. Определяем отношение ^gg X St, полагая (и, Ь) ? если существует терм / (х1г ..., хп) сигнатуры Q, для которого
U = f (zH, ..., zoft), b = f(alt ..., ап)
при подходящих at, ..., ап из И. Так как система % порождается элементами za, то левая область отношения ? совпадает с Покажем, что ? есть гомоморфизм g на St. Пусть для каких-то термов /і, ..., fs и различных элементов Za , ...,Za из свободного базиса % 1
P(fl(zai, ...,4)' ¦ ---.4))=^ =)).(1)
Так как z0l, . .., Zajl — St-свободные элементы, то из (1) вытекает, что в классе St истинно тождество
P(/i(x1, ...,Хп), Uixu ...,*„))=#. (2) ОЁЩИЁ СВОЙСТВА
339
По условию в системе 21 истинно каждое тождество, истинное в классе Я, и потому тождество (2) истинно в системе 21. Подставляя в него вместо X1, ..., хп элементы Q1, ..., ап, заключаем, что в 21 истинно соотношение
P (/і («і, • • •, ап), ..., fs (аи ..., ап)).
Таким образом, для любых u1, ..., Us из % и S1, ..., bs И8 2Г имеем
P (щ, ..., us) & ulZjbl & ... & ust,bs =^ P Qblt ...,ье)
(РЄ{®, =}),
и потому гомоморфизм g на 21.
Поскольку ^ ? Я и St — гомоморфный образ gf, то в силу в) 21 ? Я, что и требовалось.
Для любого класса St по определению полагаем
Я = KIR,
т. е. обозначаем через St минимальное многообразие, содержащее в себе класс Я.
Теорема 2. Для любого класса Я!
St=HsJlfti (3)
где через HS обозначен класс, состоящий из гомоморфных образов й-систем.
Включения Я s HS [] Я s Я очевидны. Поэтому надо лишь показать, что класс HS [] Я — многообразие, т. е. что он, согласно теореме Биркгофа, обладает свойствами а), б), в).
Свойство в) для HS [З Я очевидно, так как гомоморфный образ гомоморфного образа какой-нибудь системы есть гомоморфный образ этой системы. Чтобы проверить свойства а), б), положим 5j]ff = S и, следовательно, HS]}R = H2. Согласно п. 2.5 класс S замкнут относительно взятия подсистем и декартовых произведений. Пусть 21 ? HSi и 2!і — какая-нибудь подсистема в 2t. По условию существует эпиморфизм вида
a: 95-» St (95 ЄЙ).
Обозначим через SS1 полный прообраз в 95 подсистемы St1.
22* ш
МНОГООБРАЗИЯ
ІҐ4. Vi
Так как SSi есть подсистема й-системы 95, то 951 ? й, т. е. W1 есть гомоморфный образ й-системы, и потому W1 ? Н2. Свойство б) для класса Hй доказано.
Аналогично пусть SIi (г Є I) — последовательность Яй-систем. По условию существуют эпиморфизмы
где 95j — подходящие й-системы. Согласно п. 2.5 из существования эпиморфизмов аг вытекает существование эпиморфизма
Так как система П'®» 6 Л принадлежит классу Й, то произведение O^i Є Л принадлежит классу HЙ, т. е. класс Hй обладает свойством а).
