Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично, если в 9Л истинно какое-либо тождество вида
fmx = fy (те<и; т, п = 0, 1, 2, ...), (8)
то сразу замечаем, что оно формально равносильно тождеству
fmx = fmy. (9)
Среди всех тождеств вида (9), истинных в SJl, выбираем то, у которого m имеет наименьшее значение. Пусть (9) и есть это тождество. Тогда из (9) будут формально вытекать не только все тождества вида (8), истинные в 9Л, но и все тождества вида (7). Действительно, из (9) вытекает тождество fmx = fmblx. Поэтому в минимальном тождестве fx = fx (s < t) имеем J-s^m + l, s т. Из fx = fx и (9) следует тождество fx = fx = fmy(r = = Sjr (т + 1)(*- s)), а из последнего вытекает тождество fx = fy. Поэтому s = т и тождество fx = fx есть формальное следствие тождества fmx = fmy.
Итак, каждое многообразие 1-уноидов определяется или одним тождеством вида (7), или одним тождеством вида (9). Множество тождеств этих видов счетное и различные тождества определяют различные многообразия.
Рассмотрим случай |Q|^>2. Число различных многообразий сигнатуры Q заведомо не превосходит числа аксиоматизируемых классов этой сигнатуры, т. е. не более 21 а !+Ко (см. примеры и дополнения к § 6, доп. 1). Поэтому для доказательства утверждения теоремы нам достаточно построить 21Q различных многообразий сигнатуры Q.
Допустим сначала, что й состоит лишь из одноместных функциональных символов /; (І Є I). Выше было построено взаимно однозначное соответствие между многообразиями 1-го рода й-алгебр и полугруппами с выде- § ІЗ]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
353
ленными совокупностями порождающих V1 (І ? I). Совокупность всех неизоморфных полугрупп с |Я| ^ 2 порождающими имеет мощность 21 Q 1+к<> (см. примеры и дополнения к § 3, доп. 3). Поэтому совокупность всех многообразий ?2-уноидов также имеет мощность 2і й
Пусть теперь \Q \ 2, no Q содержит некоторое число неунарных функциональных символов Jj (/' б J). Обозначим через Uj арность fj. Рассмотрим подмногообразия многообразия, определяемого тождествами
fj (xit х2, ..., Xn.) = fj (хи у2, . .., ynj) (І € J), (10)
означающими, что в многообразии (10) все основные функции существенно одноместны. Каждому символу /г 6 Q поставим в соответствие новый одноместный функциональный символ gi и рассмотрим уноиды сигнатуры Q* = = Xgi\l <Е jO- Каждый Й*-уноид мы можем обратить в алгебру, принадлежащую многообразию (10), полагая по определению
ft (X1, .. ., хч)= gi (Xi) (і ? I).
Ясно, что при этом многообразия ?2*-уноидов обращаются в многообразия Q-алгебр, лежащих внутри многообразия (10). Мы уже видели, что при |Q*| 2 совокупность многообразий ?2*-уноидов имеет мощность 21й*1+к°. Поэтому и совокупность многообразий Q-алгебр при |Я| 2 имеет указанную мощность.
Остается рассмотреть случай, когда сигнатура состоит из одного многоместного функционального символа. Сначала мы предположим, что этот символ бинарный, т. е. что рассматриваются группоиды. Пусть соотношения (1) определяют многообразие й 2-уноидов сигнатуры Q = = </i, /2>- В каждом из этих соотношений заменяем J1, /а следующими выражениями:
fi(x) = xx, fz(x) = (xx)x. (И)
В результате получится система тождеств группоид-ной сигнатуры, которая определит некоторое многообразие группоидов Sg. Имея какой-нибудь Й^-группоид (А, •) и определив на множестве А операции /t, /2 по формулам (11), получим 2-уноид (А, J1, /2), принадлежащий многообразию Й. Однако в этом уноиде будет истинно
23 А. И. Мальцев 354
МНОГООБРАЗИЯ
trn. vi
ква зитождество
/і (x) = x->f2(x) = X.
(12)
Обратно, пусть S* обозначает квазимногообразие тех S-уноидов, которые подчиняются требованию (12), и пусть Sl = {A, fu /2) — какой-нибудь из Й*-уноидов. Тогда, вводя на множестве А операцию умножения формулами
получим Sg-ГруППОИД, ИЗ которого 2-уНОИД 21 = (A,fuf2) восстанавливается по формулам (11). Это показывает, что если для каких-то многообразий S1, S2 2-уноидов соответствующие квазимногообразия S*, SJ различны, то различными будут и многообразия Slg, Sag группоидов.
Берем произвольную полугруппу ® со счетным числом порождающих элементов vu v2, ... и совокупностью определяющих соотношений вида (2). Подставляя в эти соотношения выражения
получим систему определяющих соотношений для некоторой полугруппы @о с порождающими аи а2. Мы уже видели (см. примеры и дополнения к § И, доп. 2), что формулы (13) определяют вложение полугруппы <3 в полугруппу @0.
Пусть <8, — различные полугруппы с порождающими Vu v2, ... (различные в том смысле, что не существует изоморфизма ф : @ —э- fe, при котором Угф = = Vi). Тогда O0, ?)0 будут различными полугруппами с порождающими аи а2. Bj силу теоремы 1 полугруппам ©о, отвечают многообразия S, S 2-уноидов сигнатуры fu /2. Выделяем из S и S квазимногообразия S*, 2* тех уноидов, в которых истинно квазитождество (12). Покажем, что S* ф ?*.
Присоединяем к полугруппам @0, ^0-единицыи строим 2-уноиды 21 ? S, 95 6 ?, определяя на носителях полугрупп <80, Jg0 операции
XX = fі (ж), xy=f2(y) {хфу),
Vi = a^a^a-t* (і = 1,2, ...),
'9 • • •
