Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущие рассуждения показывают, например, что любые две неединичные коммутативные идемпотентные полугруппы в действительности ()-эквивалентны.
13.2. Ранги многообразия. Рангом тождества или квазитождества называется число различных свободных предметных переменных, входящих в их запись. Например, ранги формул
ж2<ж3, ху = ух, X (yz) = (xy)z
равны соответственно 1, 2, 3. Соответственно этому аксиоматическим рангом га (Я) многообразия Я называется наименьшее натуральное число г такое, что Я может быть охарактеризовано совокупностью тождеств, ранги которых не превосходят г. Если натуральное число г с этими свойствами не существует, то говорят, что аксиоматический ранг Я равен бесконечности (символически
Га (Я) = 00).
Условимся через InЯ обозначать совокупность всех тождеств ранга <га, истинных на классе Я, и через KA, как обычно, — класс всех алгебраических систем, в которых истинны все формулы совокупности А. Положим еще Яи = KInЯ. Тогда с каждым классом систем Я окажется связанной последовательность многообразий Я", причем
(1)
Ясно, что равенство Я = О Я™ тогда и только тогда истинно, когда Я — многообразие. Особо отметим 344
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Следствие 1. Алгебраическая система 21 (сигнатури Я) тогда и только тогда принадлежит многообразию Йп, когда каждая ее подсистема, порождаемая не более чем п элементами, принадлежит En .
В самом деле, условие 21 Є ffn равносильно тому, что в 21 истинны все тождества из Inй. Каждое из этих тождеств имеет вид
(Var1 ... xn)P(fi (xt, ... і Xn), ..., fs (Xi, ... , (Р€{0, =}).
Для проверки истинности его в 21 надо взять произвольные элементы xi, . . ., xn, вычислить/; (^1, . . ., xn) (і = = 1, ..., s) и узнать, будет ли истинно соотношение P для полученных значений Z1, . . ., fs. Но вычисление значений /i, . . ., fs производится внутри подсистемы, порожденной взятыми п элементами Xi, ..., хп, и потому проверку фактически надо проводить лишь внутри таких подсистем.
Выше было показано, что для каждого многообразия й
К1%Ю(Щ = $.
Однако может случиться, что й будет вполне определяться и какой-то своей свободной системой (й) конечного ранга п. Наименьшее п, для которого
К1%п(Я) = Я,
называется базисным рангом й и обозначается через Гь = = гь (Я). Вводя обозначения KI%t (Я) = Яг, получим в дополнение к цепочке (1) последовательность многообразий Яг:
Я» g= R2 S= ... с= с= ... с= Я, (2)
причем Я = IJSn5 если Я — многообразие.
При вычислении базисных рангов конкретных многообразий иногда полезно иметь в виду
Следствие 2. Если %п (Я) содержит подсистему, изоморфную ^rm (й), то йп - йп-н- В частности, если Я — многообразие и %п (ff) для каждого конечного і содержит подсистему, изоморфную %n+t (ff), то йп = = ff и гь (й)
Так как каждое тождество, истинное на %п, истинно и на любой подсистеме системы %п, TO Щп <= Щп+І И, еле- ОЁЩИЁ СВОЙСТВА
345
довательно, KI%n ^ KI$n+i. Вместе с включениями (2) это дает Й = йп+г- Если последнее равенство справедливо ДЛЯ любого ТО ИЗ соотношения Й = (j ^Wi получаем
й = Sn.
Базисным рангом гь& данной системы її была названа наименьшая из мощностей порождающих совокупностей в Si. Спрашивается, в каком отношении находятся базисный ранг SI и базисный ранг минимального многообразия Й, порождаемого системой Si?
Теорема 3. Для любой системы SI
п,Я<гьЯ. (3)
Базисный ранг произвольного многообразия Й совпадает с наименьшим из базисных рангов ft-систем, порождающих многообразие Й-.
Пусть гъй = п и — свободная система ранга п в многообразии Si. Тогда найдется эпиморфизм ^n —>SI и потому
/^nS/Si, кщп=>кт,
т. е. %п эЙ. Но ^n ? Й, поэтому Йп = Й и, следовательно, гьЙ < п.
Положим гьй = п. Согласно определению это означает,
что
й = %п, (і<и).
Принимая во внимание уже доказанное неравенство (3), получаем
п = ГЪ%п < Гь%п < п,
откуда гь%п = п. Таким образом, каждое многообразие Й базисного ранга п заведомо порождается й-системой, имеющей базисный ранг п. Системой меньшего базисного ранга многообразие Й порождаться не может, так как из неравенства (3) получаем
Гь й = гь® < Гь®
для любой системы ®, порождающей многообразие й.
Теорема 3 доказана. В процессе ее доказательства нам встретилось равенство гъ%п = п, где %п — свободная в й система ранга п. Спрашивается, в любых ли 346
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
многообразиях это равенство справедливо? Ответ отрицательный. Опровергающий пример дают свободные алгебры %п в многообразии @>ll2 (п. 12.2). Мы видели, что в этом многообразии для любого конечного Bft1^ и потому
Ibgfn = Ibg1 = I (« = 2,3,...).
Условимся говорить, что свободная в себе система Sn конечного ранга п обладает свойством ffi, если произвольная совокупность a-i, а2, .. ., ап (не обязательно различных) элементов Sn, порождающая Sn, независима в т. е. если любое отображение at ->¦ bi ? Sn (i = 1, ...,га) продолжаемо до гомоморфизма Sn в себя.
Ясно, что если ISnI >2, то
Я» (Sn) =Ф TbSfn = л.
Действительно, если Sn обладает свойством jS* и последовательность^, . . . ат(т<.п) порождает Sn, то заведомо несвободная последовательность at, ..., ат, ат, . .., ат также порождает Sn.
