Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Система определяемая в классе Л1 совокупностью порождающих символов Z1a (і ? I, а ? Stj) и множеством соотношений .4v(ji90 (Яг), совпадает с Я-композицией систем Stj с амальгамированиями (1).
Отсюда следует, что в каждом реплично полном классе Я существуют амальгамированные Я-композиции произвольных систем и что если в каком-то классе Я Я-композиция систем с заданными амальгамированиями существует, то она определяется однозначно с точностью до изоморфизмов, сохраняющих композиционные гомоморфизмы. Далее, как и в п. 12.1, легко получается, что амальгамированные композиции ассоциативны при соответствующем определении понятия ассоциативности. Для Я-произведений это означает, что если система St есть Я-произведение своих подсистем Sti (t 6 /) над амальгамированной подсистемой (5snSt;H/=UAi. — какое-то разбиение совокупности I, то St есть Я-произведение подсистем SSm, над (5, где QSm, есть подсистема, порожденная в St подсистемами Sti (і 6 Лі)> причем каждая подсистема SSti сама является Я-произведением над © своих подсистем St j (i ^ /ц).
В п. 12.1 Я-композиция каких-то систем Stj была названа инъективной, если все канонические гомоморфизмы, принадлежащие этой композиции, являются изоморфизмами, и потому Я-композиция систем Stj может быть отождествлена с их Я-произведением. По аналогии мы будем говорить, что Я-свободная композиция систем SIj (г 6 Л с непустыми амальгамированиями уі}: -»--»- (§7 инъективна, если все композиционные гомоморфизмы аг являются изоморфизмами и St?Jf|St"j = Щ1 (і ? I).
Подсистема © системы SI называется ретрактом St, если существует гомоморфизм St на оставляющий неподвижными все элементы
Теорема 2. Для того чтобы Я-^свободная композиция § Я -систем Sf, 35 с амальгамированием о: © -> ® их Я-подсистем была инъективной, достаточно, чтобы © была ретрактом SI и % — ретрактом 35,326
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Пусть а: Я —> <q, ?: 95 —> $ —соответствующие композиционные гомоморфизмы. Рассмотрим тождественный гомоморфизм є: 95 —> S и ретрактирующий гомоморфизм р: Я —> (5. Согласно^определению для гомоморфизмов рс: Я —» S, е: 95 —> 95 должен найтись гомоморфизм І: $ —» S, удовлетворяющий условиям рст=а?, e = ?|. Так как (5« ^ Я« П то
gag ^ (^a Q щъ с Яа& П 95?S = ф = (Sa*.
Это показывает, что подмножества Sa и Яа f| 95P множества SP при отображении Sp —> S имеют одинаковые образы. Так как последнее отображение взаимно однозначно, то == Яа П
Рассмотрим так называемые абсолютные амальгамы, т. е. амальгамированные композиции в классе всех систем данной сигнатуры. Основной здесь является
Теорема 3. Для того чтобы система Я сигнатуры Q была абсолютно свободным произведением своих подсистем Я і (ї 6 /) над амальгамированной подсистемой ©єП^ь необходимо и достаточно, чтобы выполнялись одновременно следующие условия'.
а) пересечение любых 'двух подсистем Я;, Я}(іф]) есть
б) Я порождается элементами подсистем Яг;
в) если в Я имеет место соотношение вида
F% {wu ... ,wn) = w ? ЯІ (F%e ?*; щ, ...t Wn Є Я),
то совокупность {Wi, .. .,wn} целиком содержится в некоторой системе Яу-;
г) если в Я имеет место равенство вида
Fxiui, .. .,ип) =F^ivu ...,vm)
{Fx, FllEQp-, Ui, . . •, Un, Vi, ... і Vm
то либо {щ, ..., Mn} ^ Яг, {vu ..., vm} є Я j для подходящих і, j, либо Я = fx, п = т, Ui = Vu ... ,ип — Vn',
д) если в Я имеет место соотношение вида
Piuu ...,ип) = И iP?UP;
Uu ...,Un 6 Я),
то {щ, ...,м„}еЯг для некоторого
Достаточность. Пусть заданы какие-то гомоморфизмы Я* —> в произвольную систему Sft§ 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ и композиции 327
сигнатуры Я, согласованные на амальгамированной подсистеме т. е. удовлетворяющие условиям
ca'i = ca'j i, /?/).
Вводим бинарное отношение | s 21 X 5Ш, полагая (и, v) Єесли для какого-то терма / (х{, .. ., хп) сигнатуры Q (возможно, и несобственного) при подходящих Щ, • • ¦. Wn Q U Stj имеем
и = Jiwi, .. .,wn), V = f(wlq,...,wn(p), (2)
где через ф обозначено вспомогательное отображение, определенное условиями w<f = wa\ (w Q 21,).
Из условия б) вытекает, что левая область отношения E совпадает с 21. Из условий в), г) и (2) следует, что
ulv & ulv' =$v = v' v, v'em),
т. е. ? есть отображение 21 в Sft. Наконец, из условий д) и (2) видно, что ? есть гомоморфизм 21 в Sft, совпадающий на подсистеме 21 j с заданным гомоморфизмом <х\.
Необходимость. Для доказательства необходимости достаточно построить систему 21' сигнатуры Q, содержащую подсистемы 2Ц, удовлетворяющие условиям а) — д) и допускающие изоморфизмы 21 г ->- 2П, согласованные на пересечениях. Действительно, поскольку 21 есть абсолютно свободное амальгамированное произведение, то изоморфизмы Iff должны обладать общим продолжением до гомоморфизма -ф: 21 2Р. В силу уже установленной достаточности условий а) — д) система 21' одновременно с системой 2Г является абсолютно свободным амальгамированным произведением указанных подсистем, и потому гомоморфизм ф есть изоморфизм 2[ на 21', переводящий подсистемы 2fj в подсистемы 21 і. Так как свойства а — д) сохраняются при изоморфизмах, то совокупность подсистем^1 21 і в 21 должна им подчиняться.