Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что каждое многообразие вполне определяется своими свободными системами. Действительно, каждая его система является гомоморфным образом свободной системы надлежащего ранга и все гомоморфные образы свободных систем принадлежат многообразию. Однако верно и несколько более сильное утверждение, которое мы сформулируем в виде 1-й части следующей общей теоремы.
Теорема 3. Каждое многообразие вполне определяется своей свободной системой" счетного ранга. Для любого класса систем й свободные системы в минимальном реплично полном классе S [J Яе являются одновременно свободными системами и в минимальном многообразии й.
Ясно, что если в каком-нибудь классе й есть свободная система счетного ранга, то /й = 1%в>. В каждом нетривиальном многообразии Я свободная алгебра ^00 существует и, кроме того, КШ = й. Поэтому для любого многообразия й истинна формула
& = К1%а, (4)
доказывающая, в частности, первое утверждение теоремы 3.
Для доказательства второго утверждения достаточно вспомнить теорему 3 из п. 12.2, согласно которой система, свободная относительно класса 5[|Йе, является свободной и относительно класса HS [] Й = й. ОЁЩИЁ СВОЙСТВА
341
В качестве иллюстрации рассмотрим квазимногообразие Se полугрупп, вложимых в группы (см. п. 11.1). Свободная полугруппа (в классе всех полугрупп) со свободными порождающими Zi (І ? I) является полугруппой непустых слов, записываемых (без скобок) в алфавите {Zj}, относительно обычной операции композиции слов. Эта полугруппа является мультипликативной подполугруппой свободной группы и потому принадлежит классу Se. Итак, квазимногообразие SeVi класс всех полугрупп имеют одни и те же свободные полугруппы. Если бы Se было многообразием, то оно совпадало бы с классом всех полугрупп, "что заведомо неверно. Поэтому квазимногообразие Se" не является многообразием.
Поставим вопрос: при каких условиях произвольно заданная система SI является свободной системой в каком-то классе Й?
Система Si, свободная в й, в силу п. 12.2 и теоремы 3 свободна в многообразии й. Обозначим через SI минимальное многообразие, содержащее систему Si. Из SI 6 й вытекает, что SI ^ й, и потому SI — свободная система в Й. Согласно той же теореме 3, для того чтобы система SI была свободна в многообразии Й, достаточно (и, очевидно, необходимо), чтобы система SI была свободной относительно самой себя, т. е. чтобы система И обладала независимой совокупностью порождающих элементов. Мы получили
Следствие 4. Для того чтобы система SI была свободной в каком-нибудь классе, необходимо и достаточно, чтобы она обладала независимой порождающей совокупностью элементов. В этом случае система SI свободна в многообразии Si.
Говорят, что система SI сигнатуры Q эквационально содержится в системе 33, если 95 имеет сигнатуру Q и каждое тождество, истинное в Si, истинно в 95, т. е. если /Si ^ /95. Из очевидных эквивалентностей
/Si с= /95 КЖ =>?/95 $8Є$
и формулы (3) заключаем, что система 95 тогда и только тогда эквационально содержит систему Si, когда 95 342
МНОГООБРАЗИЯ
[Гл .VI
является гомоморфным образом подсистемы подходящей декартовой степени системы SL
Системы Ж, 95 называются эквационально эквивалентными (или /-эквивалентными), если каждая из них эквационально содержится в другой, т. е. если /21 = /95. Ясно, что последнее условие равносильно равенству Й = 05. Из изоморфизма систем, очевидно, следует их эквациональная эквивалентность. Обратное вообще несправедливо. Из предыдущих рассуждений вытекает следующий простой признак эквациональной эквивалентности.
Следствие 5. Если 21 — подсистема декартовой степени системы 95 и 95 — подсистема или гомоморфный образ системы 21, то Й =
Например, 21 и любая декартова степень 21 эквационально эквивалентны.
Рассмотрим также следующий пример. Пусть 3 = = ({0, 1},- ) — полугруппа, в которой
0-0 = 0-1 = 1-0 = 0, 1-1 = 1,
и 21 — произвольная коммутативная идемпотентная полугруппа, содержащая по крайней мере два элемента а Ф Ь. Если ab = а или Ъа = Ъ, то элементы а, b перемножаются в 21 согласно одной из следующих таблиц:
a b а Ъ
а а а а ъ
Ъ а ъ, Ъ Ъ ъ
В обоих случаях 21 содержит подполугруппу {а, Ъ}, изоморфную %
Пусть ab Ф a is. ab Ф Ь. Тогда элементы а, ab составляют подполугруппу, изоморфную 3, так как они связаны в 21 следующей таблицей умножения:
а ab
а а ab
ab ab ад ОЁЩИЁ СВОЙСТВА
343
С другой стороны, в п. 3.1 было показано, что всякая коммутативная идемпотентная полугруппа изоморфно вложима в подходящую декартову степень полугруппы
В силу следствия 5 можно утверждать, что любые две неединичные коммутативные идемпотентные полугруппы эквационалъно эквивалентны, так как каждая из них эквационалъно эквивалентна полугруппе 3>-
Рассматривая вместо тождеств квазитождества, мы придем к понятию квазиэквациональной эквивалентности (или Q -эквивалентности) алгебраических систем. Справедливо
Следствие 6. Если Я — подсистема фильтрованной степени системы 35 и & — подсистема системы Я, то 91 и 35 Q-эквивалентны.
