Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(13)
Z1 (х) = CLiX, f2 (х) = azx. общие Свойства
355
Так как и в полугруппе <30, и в полугруппе Jg0 Для любых X ИСТИННО неравенство Cl1X Ф х, то в уноидах її, 95 квазитождество (12) истинно, т. е. St ? Я*, 93 ? й*. Но И ?8, 95 $ Я, и потому Ш* Ф й*.
Мы знаем, что различных полугрупп со счетным множеством сигнатурных порождающих имеется континуум. Отвечающие им полугруппы @ г о с двумя сигнатурными порождающими также различны. Вместе с ними различны и отвечающие им многообразия группоидов. Отсюда заключаем, что совокупность многообразий группоидов имеет мощность континуума.
Наконец, если сигнатура рассматриваемых алгебр состоит из одного /г-арного функционального символа / и п > 2, то берем многообразие 5Ш алгебр, удовлетворяющих тождеству
f (? X21 X3, . . . , Xn)= f (X1, X2, у3, .. ., Уп).
Каждую полугруппу можно обратить в 5Ш-алгебру, полагая
/ (X1, • • * і Xji) = X1Xfr
Различные многообразия полугрупп обращаются при этом в различные многообразия Ж-алгебр. Поэтому совокупность многообразий рассматриваемой сигнатуры / имеет мощность континуума.
В теореме 2 идет речь о многообразиях алгебр. Сделаем несколько замечаний о многообразиях систем. Прежде всего, если сигнатура Q бесконечна или множество содержащихся в ней функциональных символов не пусто и отлично от одного одноместного функционального символа, то совокупность всех многообразий сигнатуры й, очевидно, снова имеет мощность 2|?l+N<>
Если Q состоит из конечного числа предикатных символов Pi, то тождества будут иметь вид
Pi(xai • • • і Xf) = H,
число их конечно, а потому и различных многообразий будет конечное число.
Пусть сигнатура Q состоит из одноместной функции / и одноместных предикатов Pi (i = 1, ..., п). Выше было Д показано, что любая совокупность тождеств сигнатуры / ^ равносильна одному тождеству вида (7) или (9). Тождества,
23* 356
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
содержащие символ Pi, имеют вид
Pi (ГX)= и
и совокупность их, очевидно, равносильна тому из них, у которого s имеет наименьшее значение. Итак, многообразия сигнатуры Q определяются самое большее п + 1 тождествами, и потому совокупность этих многообразий счетна.
Рассмотрим, наконец, случай, когда сигнатура ?2 состоит из одноместной функции / и предикатов Pi, среди которых есть неодноместные. Пусть, например, Q содержит д-арный предикат P (п ^ 2). Обозначим через D какое-нибудь подмножество множества положительных натуральных чисел. Рассмотрим многообразие Sd, определяемое тождествами
Р(х, fx, . .., fx)= И (d?D).
Различным подмножествам D Ф Di отвечают различные многообразия Sd Ф Sd1. Действительно, пусть
StD = <{0, 1, 2, ...}; /, Р, ...), где / (ж) = X + 1 и
P (х, у, ..., z)<=>y — ж=...=z—x?D, Рі(х, у, ..., 3) = Я (РіфР, Pi?Q).
Ясно, что SId Ф для D Ф Di и 6 Sb1 ^ D = Di.
Таким образом,
^n= Sd1 <=>?) = Di.
Число различных подмножеств множества положительных натуральных чисел равно 2N°. Следовательно, столько же существует и различных многообразий сигнатуры Q.
Примеры и дополнения
1. Класс НШ всех гомоморфных образов систем любого реп-лично полного класса & есть многобразие.
2. Пусть — многообразие групп, определяемое (в классе всех групп) тождеством ж2 = 1. Класс групп (SJ, обладающих таким нормальным делителем N, что N и Щ/N принадлежат Sl2> является многообразием бесконечного базисного ранга (Б. Нейман, X. Нейман, П. Нейман [49]) *).
*) Первый пример многообразия групп бесконечного базисного ранга указал Г. X и г м э н [69]. § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
357
§14. Примитивные замыкания
Примитивным замыканием класса систем S называется наименьшее многообразие Я = Kffi, содержащее в себе все системы класса Я. Класс Я называется порождающим классом многообразия Я. Существование примитивного замыкания у любого класса Я, а также существование аналогично определяемых аксиоматического, квазипримитивного и репличного замыканий Я было установлено в предыдущих разделах. Теперь мы хотим более детально изучить, как те или иные свойства класса Я влияют на свойства порожденного им многообразия Я.
14.1. Порождающие системы. Пусть Я — некоторое многообразие й ^fm — принадлежащая этому многообразию свободная система ранга ш. Согласно п. 13.1
Я = *? = ?,,
т. е. каждое многообразие обладает порождающей его системой, которой, в частности, является свободная система счетного ранга.
Будет ли каждое многообразие порождаться некоторой совокупностью свободных систем конечного ранга?
Теорема 1. Каждое многообразие Я порождается совокупностью всех своих свободных систем конечного ранга. Если оно порождается какой-то совокупностью систем, базисные ранги которых не превосходят конечного числа п, то Я порождается свободной системой ^7l.
Пусть элементы Vi, 1>2, ... образуют свободный базис %ю. Обозначая через gfn подсистему, порожденную в элементами Vi, V2, ..., Vn, будем иметь = и Sn, где %п — свободная система ранга п. Отсюда ясно,что произвольное тождество тогда и только тогда истинно на ^m, когда оно истинно на всех подсистемах %п (п = 1,2, ...). Тем самым первое утверждение теоремы 1 доказано. Второе утверждение вытекает из замечания, что каждая система базисного ранга п является гомоморфным образом системы %п-Поэтому
