Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В теореме 3 условие конечности сигнатуры существенно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим совокупность алгебр
SI» = {{0, 1}; h, и, ...),
где fi, /2, ... — одноместные функции, причем в Stn 0/i = 0, -OZ^ = I (і<л; / = O1 1, ...).
Ясно, что совокупность алгебр Stn равномерно локально конечна. Обозначим через ЯЛ многообразие, порожденное этой совокупностью, и пусть и~ свободный порождающий элемент ЯЛ-свободной алгебры ^i- Покажем, что в элементы vf j, vf2l ... попарно различны. Действительно, если бы оказалось, что vft = vfn (і <С п), то во всех алгебрах Stj было бы истинно тождественно xfi = = xfn, которое заведомо ложно при X = 0 в алгебре SE71. Итак, все свободные алгебры в многообразии ЯК бесконечны, хотя это многообразие порождается равномерно локально конечной совокупностью алгебр.
С другой стороны, требование конечности сигнатуры можно опустить, если многообразие порождается одной конечной системой:
Теорема 4. Конечная система любой сигнатуры порождает локально конечное многообразие.
Пусть многообразие ЯЯ порождается конечной системой Si. Из формулы (4) видим, что в ЯК все свободные системы конечного ранга конечны и потому многообразие ЯЛ локально конечно.
Из теоремы 4, в частности, следует, что декатовы степени любой конечной алгебраической системы локально конечны.
Напомним, что система St называется финитно аппроксимируемой, если для каждого P ? {?3, =} и каждой362
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
я-ки элементов аи ..., ап, для которой P (aif ..., ап) = Л, существует гомоморфизм ф: 21 Sft на конечную систему ЯК, при котором P (йіф, ..., апф) = Л.
Многообразия, порождаемые произвольной совокупностью конечных систем, обладают рядом интересных свойств, основное из которых указывает
Теорема 5. Многообразие Ж тогда и только тогда порождается конечными системами, когда все его свободные системы финитно аппроксимируемы.
Пусть SPfI порождается совокупностью конечных систем 211 (і Є I). Тогда в силу формулы (1) каждая свободная в ЯК система будет подсистемой декартова произведения конечных систем SEj и потому, согласно п. 2.5, будет финитно аппроксимируемой.
Обратно, пусть какая-то ЯК-свободная система Sttl финитно аппроксимируема. Согласно п. 2.5 это означает, что
где ©г — конечные гомоморфные образы системы Sm, Из Sm € ^ и гомоморфной замкнутости ЯК следует ©і 6 ЯК. Обозначая теперь через ? мгогообразие, порожденное всеми конечными системами, принадлежащими SK, видим, что Sm ^ Так как свободные системы у многообразий SK и 5К оказались общими, то ЯК = 91.
Лемма 6. Если система SE финитно аппроксимируема и порождается конечной совокупностью своих элементов, то каждый гомоморфизм о этой системы на себя является изоморфизмом.
Пусть для каких-нибудь P ? {?, = } и аи ..., ап в %Г имеем P (ait . . ., ап) = Л. Надо показать, что тогда P (ojCf, . .., CLnO) = Л. Рассмотрим гомоморфизм ф: SE ->» ->¦ ЯК, где система ЯК конечная и P (^1 ф, .. ., апф) = Л. Реплично полный класс Й = S [j (ЯК)е состоит из подсистем декартовых степеней конечных систем. Но декартовы степени конечной системы являются локально конечными. Поэтому все системы класса Я локально конечны. Обозначим через 95 реплику системы SE в S и пусть a: SE —S5 — соответствующий ffi-морфизм. Согласно теореме 1 существует (см. рис. 1) эпиморфизм S5 S3,§ 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
363
удовлетворяющий соотношению аг|) = о а. Система 95 есть гомоморфный образ конечно порожденной системы 21 и потому система 95 сама конечно порожденная. Но 95 принадлежит классу Я, состоящему лишь из локально конечных систем. Следовательно, система 95 конечная. Согласно п. 2.2 всякий гомормор-физм конечной системы на себя является изоморфизмом, и мы приходим к заключению, что гомоморфизм ij) является изоморфизмом. Рассмотрим теперь гомоморфизм ф: St — -*¦ 5Ш. Так как то найдется
гомоморфизм 95 5Ш, удовлетворяющий соотношению ф = а?. По условию P (aiф,". . ., апф) = P («іа|, . . ., „ . —
этому P (aiа, . .., апа) = Л. Так какty — изоморфизм, то Pia1Ctty, ..., апЩ) — Л, т. е. Pia1Oa, ..., апаа) — Л и потому P (atP, . .., апо) = Л.
Из леммы 6 и теоремы 13.2.4 получаем
Следствие 7. Если свободная в себе система конечного ранга п финитно аппроксимируема, то любые п элементов из %п, порождающие %п, образуют свободный базис в %Т1.
Соединяя это утверждение с теоремой 5, получаем
Следствие 8 (Йонссон — Тарский [16]). Если многообразие Ж порождается содержащимися в нем конечными системами, то в Ш-свободной системе %т произвольного конечного ранга т каждые т элементов, порождающие образуют свободный базис
Теоремы 2—5 и следствие 8 сформулированы для многообразий. Однако из их доказательств непосредственно видно, что такие же утверждения справедливы для квазимногообразий и произвольных реплично полных классов. По инойу обстоит дело с теоремой 1. Доказательство ее основано на однозначной определяемости многообразия своей свободной алгеброй счетного ранга, что неверно для квазимногообразий.
Теорема 9. Квазимногообразие Я тогда и только тогда обладает порождающей системой, когда для любых двух неединичных Ш-систем Ж, © существует ^система,