Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Условие инъективности композиций в теореме 4 существенно. Например, рассмотрим системы, сигнатура которых состоит из одноместных предикатных символов Р, Q. Квазимногообразие Я, определяемое формулами
X = у, P(x)—>Q(x),
состоит из трех одноэлементных моделей St1, St2, St3, имеющих соответственно диаграммы
D (St1) = {Р (a), Q (а)},
/) (St2) = O P И, Н<?(а)}, D (St3) = n P («), СИ).
Модель St1 единичная, модель St2 абсолютно свободная. Пара St1, St2 образует минимальное квазимногообразие, определяемое формулами
х = у, P(x)->Q(x), Q(x)-^P(x), 376
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
а пара SC1, St3 образует минимальное квазимногообразие, определяемое формулами
X = у, Q(x).
Отсюда следует, что модели St2 и St3 (^-полные. Таким образом, все неединичные модели квазимногообразия S ^-полные, а само квазимногообразие Я не минимальное.
В п. 10.1 отмечен общий принцип пополнения совокупностей формул языка 1-й ступени. Для многообразий и квазимногообразий из него легко получается
Теорема 5. Каждое неединичное многообразие (;квазимногообразие) Я алгебраических систем произвольной сигнатуры Q содержит хотя бы одно минимальное многообразие (квазимногообразие).
К совокупности формул
&=тизху(хфу)
будем присоединять различные совокупности ? тождеств сигнатуры Q так, чтобы объединенная совокупность © у ? была выполнимой. Согласно упомянутому принципу пополнения из п. 10.1 существует максимальная совокупность обладающая указанным свойством. Обозначим через S1 многообразие, определяемое тождествами /Я и максимальной совокупностью Так как совокупность @у? выполнима, то многообразие Si неединичное. Если % не содержит одноэлементных неединичных систем, то многообразие K1 минимальное, S1 = Й й утверждение теоремы 5 (для многообразий) истинно.
Пусть S1 содержит одноэлементную неединичную систему Я. Тогда Я будет принадлежать многообразию S2? определяемому тождествами
/Я, Vxy (X= у), (1)
и потому S2 будет неединичным подмногообразием многообразия Я. Свободная в Яг система ^1 будет также неединичной и, следовательно, для подходящего предикатного символа P^Q
P (а, ..., a) = JI (a€gt).
Пусть Р% (Л??)—остальные предикатные символы из Многообразие Я3, определяемое тождествами (1) § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
377
и дополнительными тождествами
Pk {х.....х)=И (X?L),
состоит лишь из единичной системы и одноэлементной системы 95, диаграмма которой содержит только одну негативную формулу, а именно формулу 1 P (а, . . ., а). Поэтому многообразие % минимальное. Так как 95 является гомоморфным образом то 95 Є Я2 и, следовательно, Я3, что и требовалось.
Утверждение теоремы 5 для квазимногообразий доказывается аналогично. К совокупности формул ® =QSUlxy (хФу)
присоединяем максимальную совокупность Z квазитождеств, для которой совокупность <3 у Z выполнима, и обозначаем через H1 квазимногообразие, определяемое квазитождествами (J Если Si1 не содержит неединичных одноэлементных систем, ТО Sti — искомое минимальное подквазимногообразие в Я. Если же S1 содержит какую-нибудь одноэлементную неединичную систему SI, то рассматриваем квазимногообразие Я2, определяемое формулами
\fxy(x = y), Рх(х, . . ., х)—> P\l{x, ••*, х), Pa, (х, ..., х),
где Px, P? — всевозможные предикатные символы из Q, значения которых в W ложны, a Pa — те предикатные символы, значения которых в W истинны. Ясно, что S2 состоит лишь из единичной системы и системы Щ, и потому квазимногообразие S2 минимальное. Оно и является искомым минимальным подмногообразием в Я.
Теорем,а 5 утверждает лишь существование минимальных подмногообразий в каждом многообразии. Число минимальных многообразий, содержащихся в каком-нибудь заданном многообразии St, зависит от Я.
Теорема 6. Если все системы многообразия (квазимногообразия) Я локально конечны и его сигнатура конечна, то Я содержит лишь конечное число минимальных многообразий {квазимногообразий).
Согласно следствию 2 каждое минимальное многообразие (квазимногообразие) в Я порождается свободной в себе системой @ ранга 2, содержащейся в Я. Каждая система @ есть гомоморфный образ Я-свободной системы g
25 А. И. Мальцев 378
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
ранга 2. Так как % порождается двумя элементами, то, по предположению, система % конечная. Поэтому число различных конгруенций на % также конечно. Поскольку сигнатура % содержит лишь конечное множество символов, то число различных гомоморфных образов отвечающих заданной конгруенции, конечно. Следовательно, система % обладает лишь конечным числом различных гомоморфных образов, среди которых находятся и все свободные в себе системы (S. Поэтому число неизоморфных систем а вместе с ним и число минимальных подмногообразий и подквазимногообразий в R конечно.
Согласно п. 14.1 каждое многообразие, порожденное конечной системой, состоит из локально конечных систем. Поэтому из теоремы 5 вытекает
Следствие 7 (Д. Скотт [60]). Если многообразие SJc порождается конечной системой и сигнатура его конечна, то в 30? содержится лишь конечное число минимальных многообразий и минимальных квазимногообразий.
