Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, возникает вопрос, сколько существует различных минимальных многообразий и минимальных квазимногообразий данной сигнатуры fi? Поскольку каждое минимальное многообразие содержит единственное минимальное квазимногообразие, то число минимальных многообразий данной сигнатуры не превышает числа минимальных квазимногообразий. Впервые задачу о числе минимальных многообразий изучал Калицкий [171, показавший, что существует континуум различных минимальных многообразий группоидов. Этот результат легко распространяется и на многообразия алгебр произвольной сигнатуры.
Теорема 8. Существует не менее 2 I aI различных минимальных многообразий Q-уноидов. Если сигнатура Q рассматриваемых алгебр содержит хотя бы один неунарный функциональный символ, то число различных минимальных многообразий сигнатуры Q равно 2' й' + No.
Пусть Q = {fi [ г ? 1} и К — произвольное подмножество множества I. Рассмотрим многообразие S1Ik ?2-уноидов, определяемое тождествами
fiX = X
fjx = fny § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
379
Многообразие Шк заведомо неединичное, так как оно содержит двухэлементную алгебру ({а, Ъ}, Q), в которой
fi (X) = х, fj (а) = fj (b) = Ъ (І?К, І?І\К).
Любое тождество сигнатуры Q имеет вид а), б), в) или г) (см. п. 13.3), и легко проверить, что либо оно является формальным следствием совокупности (2), либо вместе с нею образует совокупность формул, из которой выводимо тождество X = у. Следовательно, многообразие Шк минимальное.
Таким образом, число минимальных многообразий уноидов сигнатуры Q не менее числа различных подмножеств К множества /, равного 2 I aL
Рассмотрим теперь случай, когда сигнатура Q = = {filial} бесконечная и содержит хотя бы один неунарный функциональный символ. В п. 13.3 было показано, что решетка подмногообразий многообразия ?2-алгебр, удовлетворяющих тождествам
fi (х, х2, . . .; хп.) = fi (х, г/2,. . уп.) (і ЄI)
изоморфна решетке всех многообразий сигнатуры Q* = = G ГД® Si — одноместные функциональные сим-
волы. Как только что было показано, мощность совокупности минимальных многообразий Q*-уноидов больше или равна 21 L Поэтому существует не менее 21 gI минимальных многообразий сигнатуры й. Так как всего существует 21 qI+no =2IqI многообразий сигнатуры ?2, то мощность совокупности минимальных Q-многообразий точно равна 21 й I +*<>.
Остается рассмотреть случай, когда сигнатура ?3 конечна и содержит хотя бы один неунарный функциональный символ /а. Рассматривая подмногообразия многообразия, заданного тождествами
fa (х, У, X3, . . . , Xna) — fa (х, У, Z3, . . . , zna)> fi(xu ..., Xn.) = X1 (іф а, і?І),
видим, что дело сводится к доказательству утверждения теоремы 8 лишь для многообразий группоидов с одной бинарной операцией, которую мы обозначим через о. Следуя Калицкому [17], вводим сокращенные
25* .380
Многообразий;
[Гл. уї
обозначения
х°х = 2х, 2пх о 2пх = 2п+1х (п = 1,2,...).
Пусть M —.какое-нибудь непустое множество натуральных чисел, больших единицы, и M' — совокупность остальных натуральных чисел, больших единицы. Обозначим через SIm многообразие o-группоидов, определяемое совокупностью тождеств
(і) 2хох=2уоу,
(ii) 2тх°х = 2х°х (т?М),
(iii) 2пхоХ^х (п?М'),
(iv) хоу = у ОХ.
Покажем, что каждое многообразие SEm неединичное. Для этого определяем на множестве N натуральных чисел операцию о, полагая для любого натурального і
(і + 1) Oi = IO ^+ 1) = О,
[і + т)°і =г'о(г' + т) = 0 (т?М), (і + п) о і = і о (с + п) — і (пХ.М'), г о і = г + 1.
Ясно, что так определенный -группоид (N, о) принадлежит многообразию SIm, и потому это многообразие неединичное.
Легко убедиться также, что пересечение любых двух многообразий SEm, SEl, отвечающих различным множествам M, L, содержит лишь единичный группоид. Действительно, если M Ф L1 то существует- число S1 принадлежащее (М \}L') (J (M' \}L). Поэтому на произвольном группоиде {А, о), принадлежащем пересечению многообразий SEm и SEi, одновременно выполняются тождества
2х°х = 2у °у, 2sxox = 2хох, 2sxox = x,
из которых вытекает тождество х = у.
Согласно теореме 5 в каждом многообразии SEm содержится какое-то минимальное подмногообразие SЕм- Так § 14]
ПРИМИТИВНЫЕ ЗАМЫКАНИЯ
381
как для M^L имеем Stjtf Г) STr, = {©}, то Stfc^StL Поэтому мощность совокупности многообразий Stlf совпадает с мощностью совокупности всех непустых подмножеств множества натуральных чисел, т. е. равна мощности континуума.
Итак, мощность совокупности всех минимальных многообразий группоидов не меньше мощности континуума. Так как мощность совокупности всех многообразий группоидов меньше или равна х, то совокупность всех мини-тальных многообразий группоидов равна мощности кон-минуума.
Поскольку тождества (i) — (iv) определяют многообразие коммутативных группоидов, то приведенные выше рассуждения доказывают более сильное
Следствие 9. "Совокупность всех минимальных многообразий коммутативных группоидов имеет мощность континуума.
Задача об определении мощности совокупности минимальных подмногообразий, содержащихся в каком-то фиксированном многообразии ЗЛ, решена для ряда важных случаев.
