Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Будем говорить, что Я-композиция совокупности систем SIj (і 6 -0 инъективна, если все композиционные гомоморфизмы ее суть изоморфизмы.
Из этих определений непосредственно вытекает
Следствие 5. Я-композиция совокупности систем Slj (і 6: I) тогда и только тогда инъективна, когда системы SIj (і Є I) совместно вложимы в подходящую Я -систему.
Из локальной теоремы (п. 8.3) следует, что если любая пара систем какого-нибудь аксиоматизируемого класса Я совместно вложима в подходящую Я-систему, то любая совокупность Я-систем совместно - вложима в подходящую Я-систему. Так как произвольное квазимногообразие Я и класс всех его неединичных систем
20
А. И. Мальцев КВАЗИМНоГОС>Ё]?АЗЙЯ
ІҐл. V
являются аксиоматизируемыми классами, то из следствия 5 вытекает
Теорема 6. Если любая пара систем (неединичных систем) квазимногообразия Sl совместно вложима в соответствующую St-систему, то St-композиция произвольной совокупности St-систем (неединичных ^-систем) инъективна.
Наряду с этими общими замечаниями отметим и следующие более конкретные признаки инъективности композиций.
Теорема 7. Если сомножитель Sls ^-композиции Sl = [J * 2tj {І Є I) принадлежит St и каждый из остальных сомножителей Slj может быть гомоморфно отображен в Slstil то композиционный гомоморфизм as: Sts St является изоморфизмом.
Присоединяя к тождественному отображению
Y*: И.-* Я.
(существующие по предположению) гомоморфизмы
Yi= StiSts
и замечая, что Sls € St, видим, что существует гомоморфизм |: St Sls, для которого ys = as?. Так как здесь уа — тождественное отображение, то as— изоморфизм Sls на Slsae.
В частности, условия теоремы 5 заведомо выполняются, если все сомножители равны одной и той же St-системе. Таким образом, композиционные гомоморфизмы любой St-степени произвольной Ж-системы являются изоморфизмами.
Другой важный частный случай представляют классы St, в которых любая система содержит единичную подсистему. В таких классах любая система допускает гомоморфное отображение в любую другую систему (на ее единичную подсистему), и условия теоремы 5 оказываются выполненными в композициях любых St-си ст ем. Примерами таких классов могут служить классы групп, луп, колец и т. п.
Алгебраическая система Sl называется S{-свободным произведением своих подсистем Stj (і Є /), если St есть St-композиция последовательности Sli (і ? /), для которой § 12] свободные системы и композиции 307
тождественные отображения Яг ->¦ 21 служат композиционными гомоморфизмами. Иначе говоря, система 21 есть ff-СВОбоДНое Произведение СВОИХ подсистем Яг (і Є I), если выполнены три условия: 1) Я g ff, 2) элементы всех подсистем Яг в совокупности порождают Я; 3) если для каждого і Є I задан произвольный гомоморфизм а г подсистемы Яг в какую-нибудь ff-систему то вся совокупность гомоморфизмов а* может быть совместно продолжена до подходящего гомоморфизма 3 в 6.
Пусть задан реплично полный класс ff и последовательность ff-систем {95г І і 6 /}. Спрашивается, существует ли система Я, являющаяся ff-свободным произведением последовательности {Яг І і 6 /} своих подсистем, соответственно изоморфных заданным системам Теорема 7 дает положительный ответ на этот вопрос в случае, когда любая из заданных систем может быть гомоморфно отображена в любую другую систему.
Отметим также, что из теоремы 3 непосредственно вытекает
Следствие 8. Пусть ff —реплично полный класс, система Я — Ж-свободное произведение своих подсистем Яг (і 6 /), I = U^n (м- € М) — разбиение I на непересекающиеся подсовокупности и SSm, — подсистема, порожденная в Я элементами систем Яг (г Є Iv). Тогда Я есть Ж-свободное произведение подсистем SSli (|Л ? М).
При более детальном изучении свободных произведений, естественно, возникает вопрос: если Я есть ff-сво-бодное произведение своих подсистем Яг (i ? /), то каковы пересечения ЯгГ|Я/ (І Ф /)? Ввиду следствия 8 можно ограничиться случаем двух сомножителей.
Теорема 9. Если система Я есть Ж-свободное произведение своих подсистем Ht, H2, то для любого гомоморфизма a: H1 ->- Я2 имеем H1HH2SHf.
Гомоморфизм a: H1 H2 и тождественное отображение ?: Я2->- H2 можно рассматривать как гомоморфизмы свободных множителей в ff-алгебру Я. Согласно определению свободного произведения указанные гомоморфизмы можно продолжить до гомоморфизма Я->Я2. Так как H1П H2 S H2 и g = ? на H2, то (ИіПИа)6 = H1HH2. С другой стороны, (SI1 ПИ^ = = (H1 n Я2)а ^ Я«, поэтому H1 n Ha s Щ.
20* 308
квазимногообразия
[Гл. V
Например, если St S 95s®, ? = ?*? и пересечение St П содержит единичную подсистему, то оно совпадает с этой подсистемой. В частности, в классе луп, групп и т. п. каждая система содержит единственную единичную подсистему. Поэтому в свободном произведении луп или групп любая пара свободных сомножителей пересекается лишь по единичной подалгебре.
Посмотрим, что представляют собой свободные произведения в классе полугрупп. Пусть St1, St2- какие-нибудь полугруппы без общих элементов. Элементы обеих полугрупп будем рассматривать как символы некоторого алфавита Jh = St1IJSt2. Обозначим через St совокупность тех непустых слов в алфавите Jl, никакие два соседних символа которых не принадлежат одной и той же из заданных полугрупп. Введем в St операцию умножения, полагая по определению для любых слов с,C2 . . . ... ст и did2 ... из St
