Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(C1 . . . ст)• (di .-. . dn) = C1 ... cmdi . . . dn, (8)
если cm, di принадлежат различным полугруппам, и полагая
(ci • • • cm)'(di • • • dn) = C1 ... (cmdi) . . . dn, (9)
если cm, di Q Stі, причем (cmdi) означает здесь тот элемент полугруппы Stг, который получается в результате перемножения ст и di внутри Stj.
Легко проверяется, что полученный таким образом группоид St ассоциативен. Он содержит в себе элементы полугрупп St1, St2 (в качестве слов длины 1), и закон умножения элементов этих полугрупп (9) в полугруппе St совпадает с законами перемножения их в полугруппах St1, St2. Следовательно, St1 и St2— подполугруппы полугруппы St.
В силу (8) каждое слово из St является произведением своих букв, т. е. каяедый элемент из St есть произведение соответствующих элементов подполугрупп St1, St2. Таким образом, St порождается подполугруппами St1, St2.
Чтобы показать, что St есть свободное произведение своих подполугрупп St1, St2, остается лишь проверить условие продолжаемости гомоморфизмов. Пусть Oc1: St1 <3, a2: St2@ — гомоморфизмы в какую-нибудь § 12]
свободные системы и композиции
309
полугруппу Каждому слову a = c1c2 . . . ст ? Я
ставим в соответствие его значение
Il О H = cficga.. . Cfc»
где Pi = ct1 для ci^SI1 и Pi = а2 для CjGSI2- Из (8), (9) непосредственно видно, что
Il а'Ь Il = Il a IHI в Il (а,ЬЄИ),
причем
я G 21; —> Il а I! — а<Х' (1 = 1,2).
Следовательно, отображение а —> || а || является искомый гомоморфизмом SI в продолжающим гомоморфизмы Oc1 и а2.
Например і рассмотрим строение свободной композиции (в классе Я всех полугрупп) двух единичных полугрупп. Пусть а — единственный элемент полугруппы Si, b — единственный элемент полугруппы 95 и а Ф Ъ. Согласно вышеизложенному в качестве Я-свободного произведения SI и 35 можно взять полугруппу й, состоящую из слов а, Ъ, ab, ba, aba, . . ., перемножающихся по законам (8), (9):
aba-ab = abab, ab-aba = ababa, . . .
Приведем пример квазимногообразия й, в котором композиционные гомоморфизмы свободных композиций й-систем могут не быть изоморфизмами.
Обозначим через Й квазимногообразие полугрупп, удовлетворяющих квазитождеству
Ж3 = X-+у* = у. (10)
Пусть SI — бесконечная циклическая полугруппа, состоящая из элементов а, а2, а3, . . ,, и 95 — циклическая полугруппа 2-го порядка, образованная элементами Ь, b2 (b3 = Ь). Обе эти полугруппы принадлежат классу Й, так как оба элемента из 95 удовлетворяют соотношению у3 = у, а в SI истинно неравенство х3 Ф х. Обозначим через S й-свободную композицию SI *95, и пусть а: SI (S, ?: 35 — соответствующие композиционные 310
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
гомоморфизмы. Из Ь8 = Ь следует (&?)3 = b?, и потому в силу (10) в @ справедливо тождество уа = у. В частности, (аа)3 = аа. Это и показывает, что а не является изоморфизмом, так как в "Я а3 Ф а.
Из описанной выше конструкции свободных композиций в классе всех полугрупп видно, что свободные композиции в этом классе обладают следующими свойствами «правильности»:
а) композиционные гомоморфизмы свободных композиций ft-систем являются изоморфизмами (инъектив-н о с т ь композиций);
б) если система SI есть Jt-свободное произведение своих подсистем Sti (i 6/), то система 95 S 21, порожденная в 21 произвольными подсистемами 35г соответственных свободных сомножителей 21 г (г ? Г), является St-свободным произведением подсистем 33г (наследственность композиций).
Помимо класса всех полугрупп, свойствами а), б) обладают также классы всех групп, всех абелевых групп, ассоциативных колец, неассоциативных колец, колец Ли и многие другие. Однако столь же часто встречаются и классы, в которых свойство а) истинно, а свойство б) ложно. Более того, среди всех до сих пор изученных многообразий групп свойством б) оказались обладающими лишь многообразие всех групп и многообразия абелевых групп. Существуют ли какие-нибудь другие многообразия групп со свойством б) — пока открытый вопрос.
> Рассмотрим следующий популярный пример. Напомним, что группа называется метабелевой, если в ней истинно тождество
X^y-1Xy-Z = Z-X^y-1Xy. (11)
Покажем, что многообразие метабелевых групп свойством б) заведомо не обладает.
Выведем сначала одну' серию тождеств, истинных в классе метабелевых групп. Пусть @ — какая-нибудь метабелева группа и u_1v~luv = w, где и, v ? <§. Согласно соотношению (И)
uw = wu, Vw = wv. (12)
Возводя обе части равенства v~*uv — uw в произвольную степень X = 0, +1, ± 2, ... и принимая во внимание § 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ 312
І
(12), получим W1UxV =-- UxXlf, UxVlTx = VWx. Возводя обе части последнего равенства в произвольную степень у, получим uVr1 = VvIifv и, следовательно,
UxVv = VvUxWxy (х, у = 0, ± 1, ± 2, . . .). (13)
Обозначим теперь через (5 метабелево свободное произведение циклических групп Si, 35 какого-нибудь простого порядка р. Пусть а, Ъ — порождающие элементы групп Si, 55 и а-Ч-ЧЪ = с Є Согласно (13) аггЪ*а = bvcp, т. е. ср = 1. Из (13) следует также, что для любых целых чисел х, у, z, x1, уі, Z1, принадлежащих множеству {О, 1, р — 1}, имеют место соотношения
