Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
S на U. По условию а может быть продолжено до гомоморфизма <р: Sl -»- Так как 21ф содержит совокупность U, порождающую систему то ф есть гомоморфизм 21 на систему (L
Выше отмечено, что в каждом классе свободные системы определяются своим рангом однозначно с точностью до изоморфизма. Спрашивается, могут ли быть изоморфными свободные системы различных рангов? Перед тем, как ответить на этот вопрос, сделаем несколько предварительных замечаний.
Классы систем, состоящие лишь из одноэлементных систем, условимся называть тривиальными. В тривиальных, классах могут существовать лишь свободные системы ранга 1. При этом система 21 будет свободной, если в ней каждая формула вида
P (а, ...,а) (РЄ Qp, а 6 21)
истинна только тогда, когда она истинна в каждой системе класса.
Порождающая совокупность элементов какой-то системы 21 называется минимальной, если никакая ее истинная подсовокупность не порождает 21. Из определения свободных базисов непосредственно вытекает
Следствие 5. Каждый свободный базис свободной системы 21 = 2fm(St) в некотором классе R является минимальной порождающей совокупностью в 21.
Допустим, напротив, что какая-то истинная часть S1 базиса S порождает 21. Тогда для каждого элемента а ? S\Sі должно существовать представление вида
а = f {аи . . ., ап), (4)
где / (art, . . ., хп) — некоторый терм сигнатуры, Q и «і, . . ., ап— различные элементы из Si. Согласно теореме 1 из (4) вытекает, что в классе Sl истинно тождество
X — / (#1, . . хп).
Так как 21 6 St, то это тождество истинно и в 21. Полагая в HeMjc1 = A1, . . ., хп = ап, X = a, O1, получим а = (?, что невозможно.
Заметим, что если в какой-то системе 21 существует бесконечная минимальная порождающая совокупность, 318
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
то все минимальные порождающие совокупности системы St имеют одну и ту же мощность *). С другой стороны, если система St имеет минимальную порождающую совокупность мощности ш, то каждая изоморфная ей система также имеет минимальную порождающую совокупность мощности ш. Сравнивая эти утверждения со следствием 5, приходим к выводу, что справедлива
Теорема 6 (Фудзивара [67]). Если в каком-нибудь классе Й свободные системы ^tt различных
рангов ш, U изоморфны, то тип конечны.
Итак, дело сводится к проблеме изоморфизма свободных систем конечных рангов. Решение ее дает
Теорема 7 (Сверчковский [59]). Для того чтобы в каком-то классе St сигнатуры Q свободные системы %т, %п конечных различных рангов т,п были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы в St выполнялась совокупность тождеств вида
fi (gt • • •, Sn). • • •, gm (Xit . .., Хп)) = Хі (і = 1, ..., п), (5)
gj (/і (®и • • •» хт), ---Jn (Хі, ..., xm)) = Xj (/ = 1,..., m), (6)
где fi(xb ...,xm), gj(xi, ...,xn) — подходящие термы сигнатуры Q.
Необходимость. Пусть Ът^Ъп- Тогда j в ^m будут существовать свободные ',базисы F-^1, ..., ит), W = {wi7 ..., wn), содержащие соответственно т и п элементов. Поскольку V и W порождают %т, то должны существовать представления вида
^t = ft (vi, ---,Vm) (і = 1, ..л),
vJ = gJ (wb - --,Mn) (/ = 1, . •., m),
*) Действительно, пусть система 81 обладает бесконечной минимальной порождающей совокупностью S и S1— произвольная минимальная порождающая совокупность системы 81. Каждый элемент a ? S представим в виде а = / (ait . . . , ап), где / — терм от основных операций системы S и ait . . . , ап — различные элементы из S1. Фиксируем одну такую запись для каждого а ? S. Совокупность тех элементов из Si, которые встречаются в этих записях для всех а ? S, порождает систему St и поэтому совпадает с S1. Таким образом, | ^1I к0| S |. Поскольку мощность I1S1I бесконечна, то K01 S | = | S | (см. п. 2.6). Получаем I IjS1I. Так как совокупность не может быть конечной,
то также I S I /S11] и поэтому | ^1I =| S |.— Прим. ред. § 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ 312
где fi, gj — подходящие термы сигнатуры ?2. Отсюда подстановками получаем соотношения
ft{gl(Pi, ...fWn), gmlWi, ...tWn)) = Wt (І = 1, ...,Л), (7)
gj(fi(vu Vm), fn(Vi, ¦¦•,vm))=Vj (j = 1,...,m). (8)
Так как совокупности V, W являются Й-независимыми, то в силу теоремы 1 из (7) и (8) получаем тождества (5), (6).
Достаточность. Пусть V = {vu ..., Vm)— свободный базис в %т. Полагаем
Щ — Іі {Щ, ¦ - •» vm) (і = 1,...,и). (9)
В силу тождеств (6)
Vj-^gj (Wi, ..,,Wn) (і = ї,...,т).
Поэтому совокупность W = [wu . .., wn) порождает систему %т. Допустим, что между элементами этой совокупности существует какое-нибудь соотношение вида
P(hi(wu ...,Wn), ...,hs(wu ...,wn)) ^ И (P?{Qp, =}).
Подставляя сюда вместо элементов W1, ..., Wn их выражения из (9), получим
P(hi(fi(vi, •••» vm), ..., fn(vit ...,Vm)), ...) = И.
Так как элементы V1, ..., Vm Й-независимы, то в истинно тождество
P(hi(fi(yi, Ут), .... Іп(Уі, Угп)), ...)=и.
Полагая здесь у} = gj (Xi, хп) (f=i,...,m) и пользуясь тождествами (5), получаем тождество
P Qil (xlt .. .,хп), ...,Jis (хи ..., хп)) = И,
показывающее, Что COBOKynHOCTbj W Й-независима.
