Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 105

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 133 >> Следующая


a = f (аи .. .,(Ln) (а і ? S, Cii Ф а у, іфі, і, / = 1,..., п),

где / (xi, . . ., хп) — некоторый терм сигнатуры Q. Вводим отображение

Ф; f(ai,...,an)—>f(aict,...,an<x).

Надо проверить, что отображение ф однозначно и что оно является гомоморфизмом S В К, I. е, что из истинности соотношения вида (1) вытекает истинность соотношения

P (fi («!<*, . . ., апа), f S (аха.....апа)). (3)

Но это очевидно, так как соотношение (3) получается из тождества (2) при отображении Xi -*¦ ata (i = 1, . . . . . ., п).

Следствие 2. Если каждое конечное подмножество бесконечного множества S элементов системы St является Я-независимым, то множество S также Я-независимо.

Действительно, каждое квазиатомарное соотношение вида (1) между элементами множества S содержит фактически лишь конечное подмножество элементов S и, в силу Я-независимости последнего, в классе Я истинно тождество (2).

Из определения Я-независимости непосредственно видно, что Я-независимая совокупность элементов § 12]

СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ

312

является независимой и относительно любого подкласса S ^й. Однако совокупность элементов, независимая относительно подкласса Й, может оказаться зависимой относительно более широкого класса й. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что, например, относительно класса, состоящего лишь из единичной системы, все элементы произвольной системы независимы. Тем не менее нижеследующая теорема указывает важный случай, когда из независимости относительно одного класса вытекает независимость относительно более широкого класса.

Напомним, что для совершенно произвольного класса S символами S2, [J й, H2 обозначаются соответственно классы всех подсистем 8-систем, изоморфных копий декартовых произведений S-систем и гомоморфных образов 2-систем.

Теорема 3. Если совокупность S элементов системы SI независима относительно какого-нибудь класса й, то S независима и относительно класса HS [J Й.

Для доказательства достаточно сослаться на теорему 1. Действительно, пусть некоторые элементы йц, . . ., ап совокупности S удовлетворяют соотношению (1). Тогда, по предположению, в классе й будет истинно тождество (2). Из истинности тождества в классе й вытекает истинность его в любых декартовых произведениях й-систем, т. е. вытекает истинность его в классе [Jffi. Из истинности тождества в [j й-системе следует истинность его в любой подсистеме этой системы, т. е. истинность в классе S\]R. Наконец, из истинности тождества в какой-нибудь S [| й-системе следует истинность его и в любом гомоморфном образе этой системы, т. е. указанное тождество истинно и в классе'' ЯЯ^Й. Согласно обратному утверждению теоремы 1, это показывает, что совокупность S независима относительно класса HS [] й.

Алгебраическая система SI называется свободной относительно класса й, если в SI существует совокупность S элементов, независимая^ относительно й и порождающая систему St. Совокупность S, обладающая этими свойствами, называется й-свободным базисом системы Si. 316

КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ

[Гл. V

Система St называется свободной системой ранга m в классе Я {символически St = ^m (Я)), если St 6 й и в St существует Я-свободный базис мощности т. Наконец, St называется свободной в себе системой ранга т, если St является свободной системой ранга ш в классе {ST}, состоящем лишь из самой системы Я.

Из установленных выше свойств Я-независимых совокупностей элементов непосредственно вытекают следующие свойства свободных систем:

а) Каждая Ш-независимая совокупность S элементов системы St порождает подсистему S, свободную относительно класса Я. Совокупность S является й-свободным базисом системы S.

б) Алгебраическая система Я, свободная относительно класса Я, является свободной относительно любого подкласса Й Я и относительно надкласса HS П

Столь же очевидна и

Теорема 4. Если в классе Я существуют свободные системы данного ранга т, то все они изоморфны между собой и любая Я -система, обладающая порождающей совокупностью мощности ш, является гомоморфным образом свободной системы ранга Itt в Я.

В частности, если в Я существуют свободные системы произвольного ранга, то каждая Я-система St есть гомоморфный образ свободной в Я системы ранга |St|.

В самом деле, пусть ST, 9? — свободные системы ранга ttt в Я и S, T — их свободные базисы мощности ltt. Так как мощности S и T одинаковы, то существует взаимно однозначное отображение a: S —>- Т. По условию это отображение продолжаемо до гомоморфизма <p: ST ->¦ 35. Поскольку Stcp содержит совокупность Т. порождающую 95, то ф есть эпиморфизм. Аналогичным образом обратное отображение a"1: T S продолжаемо до эпиморфизма Tji: 95 St. Гомоморфизм фф: St St оставляет неподвижными элементы совокупности S, порождающей Я. Поэтому фор является тождественным отображением и, следовательно, ар = ф-1.

Пусть теперь К — произвольная Я-система, порождающаяся совокупностью элементов XJ, причем I U I ^?!

I S |. Берем произвольное отображение а совокупности § 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ 312
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed