Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, система %т имеет свободные базисы мощностей т, п и^ потом у %т д* %п.
Тождества (5), (6) показывают, что в каждой системе її, в которой они справедливы, отображение
(Xi, . . ., Xm ) —*- (Ji (Xi, . . ., Xm), . . ., /п (Х\, . . ., Xm) )
совокупности всех W-OK элементов 21 на совокупность всех п-ок этих элементов является взаимно однозначным. 320
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Однако если мощность Я конечна и равна d, то число W-OK равно din, а число п-ок равно (Г. При 2, тф п получаем df1 ф dn. Таким образом, тождества (5), (6) не могут быть истинными в конечной системе, имеющей более одного элемента, и потому из теоремы 7 получается
Следствие 8 (Фудзивара [67], Йонс-сон — Тарский [16]). Если класс E содержит конечную систему, имеющую более одного элемента, то все свободные системы различных рангов в Й не изоморфны.
Выше при доказательстве теоремы 4 были, в сущности, повторены рассуждения из п. 11.2, при помощи которых там была установлена единственность систем, заданных своими определяющими соотношениями. Сравнивая друг с другом определение свободной системы ранга ш в классе St и определение системы, заданной в классе Я определяющими соотношениями, непосредственно убеждаемся, что справедлива следующая
Те о р е м а 9. Если в классе Я существует свободная истема ранга ш, то эта система может быть задана в !rtc множеством мощности ш порождающих символов и пустым множеством определяющих соотношений. Обратно, если класс St нетривиален, то система 21, заданная в этом классе множеством Z мощности m порождающих символов Zi и пустой совокупностью определяющих соотношений, является свободной системой ранга ш в ff.
В проверке нуждается лишь второе утверждение. Рассмотрим каноническое отображение a: Z ->-21. Из основного определения п. 11.2 следует, что совокупность элементов ZiCL порождает систему 21 и является ff-незави-симой. Надо лишь убедиться, что мощность совокупности элементов ZiO. равна ш, т. е. что ZiCL Ф ZfL при І Ф j. Ho если бы оказалось, что і ф } и ZiCL = Zft,, то ввиду независимости элементов zigc, ZfL в классе Ж было бы истинно тождество X = у, и класс Я! был бы тривиален.
Из теоремы 9 и соответствующих теорем пп. 11.2 и 11.3 непосредственно получается
Следствие 10. В каждом реплично полном нетривиальном классе ft существуют свободные системы любого наперед заданного ранга m 1. Свободная система ранга ш в любом подклассе S класса ff является S-репликой свободной системы того же ранга Ш в классе ff. § 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ 312
Свободная система в классе всех систем данной сигнатуры Q называется абсолютно свободной. Из следствия 10 получаем, что свободная система ранга m в произвольном классе Jrt является Я-репликой абсолютно свободной системы ранга ш.
В п. 12.1 было показано, что если системы Slp. (ц ? M) заданы в классе Я попарно непересекающимися совокупностями Z1j, порождающих символов и соответствующими совокупностями Tv. определяющих соотношений, то система St, заданная в St объединенной совокупностью (J Zv. порождающих символов и объединенной совокупностью UTm. определяющих соотношений, является Я-свободной композицией систем Sliv Беря в качестве Tv. пустые совокупности и применяя теорему 9, получаем
Следствие 11. Свободная система ранга JW в классе Я изоморфна Е-свободной т-й степени свободной системи ранга 1.
Из п. 12.1 получаем, в частности, что свободная (в классе всех полугрупп) полугруппа со свободным базисом [Zi І і ? /} является полугруппой непустых слов, записываемых без скобок в алфавите {zt | і ? I}, относительно операции композиции слов. Аналогично свободная группа (в классе всех групп) со свободным базисом {Zj І і ? 1} состоит из слов в алфавите {zt, zj1 | і ^ /}, в которых не встречаются рядом «взаимно обратные» символы Zi, Zi1 и которые перемножаются по правилу композиции слов с последующим последовательным вычеркиванием оказавшихся рядом взаимно обратных символов (см., например, К у р о ш [26]).
В силу следствия 11 для любых кардинальных чисел ш, п имеет место изоморфизм
дт * Sn = Snt+п»
и поэтому совокупность всех свободных систем конечного ранга является циклической полугруппой относительно операции свободной композиции при условии, что изоморфные системы считаются равными. Порождающим элементом этой полугруппы служит свободная система ранга 1.
В п. 3.1 было доказано, что циклическая полугруппа либо бесконечна, и тогда все степени ее порождающего элемента различны, либо же эта полугруппа конечна,
21 А. И. Мальцев 322
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
и тогда существуют натуральные числа к, I (1 к <. I), обладающие следующим свойством: положительные степени ит, и п{т < п) порождающего элемента и этой полугруппы тогда и только тогда равны, когда
к ^ т, п — т = г (I — к). (10)
Следовательно, для любого класса Я, обладающего свободными системами, либо все свободные системы различных конечных рангов не изоморфны, либо существуют такие натуральные числа к, I (1 к <С I), что свободные системы %т, %п конечных рангов т, п (т <С п) тогда и только тогда изоморфны, когда выполнены условия (10). Согласно следствию 8 первый случай реализуется, например, в классах всех групп, всех полугрупп и в других классах. Остается показать, что второй случай для произвольной пары чисел к, I (1 к <С /) также реализуется в подходящем классе.
