Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 12 (Сверчковский [591 *)). В многообразии lBk1I (^ к <L I), сигнатура которого состоит из функциональных символов Fi, Gj (i = 1, ... . . ., I; 7 = 1, . . ., к), соответственно к-местных и I-местных, и которое определяется тождествами
Fi (G1 (хи ..., X1), ...,Gk (X1, ..., Xi)) = Xt (i = 1, ..., /),
Gj (Fiix1, .. .,Xh), .. .,Fiixi, . ..,Xk)) = Xj (7 = 1, . ..,к),
свободные алгебры конечных рангов образуют относительно операции свободной композиции циклическую полугруппу с парой показателей (к, I).
Из теоремы 7 следует, что в многообразии Bh,і свободные алгебры рангов к и I заведомо изоморфны. Остается показать, что из g/ §?г (г <С I) следует і = к. Для этого требуется более детальное изучение строения свободных алгебр в классе Bk ,і- По этой причине доказательство теоремы 12 опускается.
12.3. Амальгамированные композиции. Фиксируем какой-нибудь класс S алгебраических систем сигнатуры Q, и пусть Я, 35 — произвольные Я-системы, имеющие непу-
*) Изоморфизм свободных алгебр конечного ранга в многообразии S1,2 впервые был замечен Йонссовом н T а р с к я м Ji]- Hp им. ред. § 121 СЙОЁОДЙЫЕ СИСТЕМЫ И К0МПОЗИЦЙЙ 323
стую общую часть (рис. 1). Спрашивается, существует ли в Я система в которой St и 35 являются подсистемами? Если такие системы Sg существуют, то нельзя ли какими-нибудь дополнительными условиями общего вида выделить среди этих систем особенную, в каком-то смысле самую свободную? Ответ на эти вопросы дает описываемая ниже конструкция, известная под названием свободной композиции с амальгамированными подсистемами. Предварительно лишь заметим, что для возможности положительного ответа на первый из поставленных выше вопросов необходимо, очевидно, чтобы общая часть заданных систем Si, 35 была подсистемой каждой из них. Это и будет ниже предполагаться. Кроме того, вместо двух систем будет рассматриваться произвольная совокулность систем, но для краткости будет предполагаться, что пересечение любой пары из заданных систем одно и то же.
Итак, пусть заданы последовательность SIj (г (j 7) некоторых систем сигнатуры Q и произвольный класс $ систем этой сигнатуры. Пусть, далее, в каждой системе SIj выделена подсистема (Si. Предположим, что эти подсистемы изоморфны и изоморфизмы между ними ytj: ©(-»--> фиксированы и подчинены условиям согласованности
yuVJk = Yift. Yii = ег (і, j, (1)
(ej— тождественное отображение (Si на себя). Изоморфизмы Yij отождествляют подсистемы ©j (i I), позволяя рассматривать их как одну и ту же подсистему (5, содержащуюся в каждой из заданных систем SIi. Для общности мы не будем исключать случая, когда © или некоторые из заданных систем SIi пустые. Отождествленные подсистемы обычно называют амальгамированными.
Говорят, что Я-система § есть Я-композиция систем SIj с амальгамированиями (1) подсистем (Sj, если существуют также гомоморфизмы
a,: St, ? (г 61), которые удовлетворяют требованиям:
21* 324
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
а) гомоморфизмы аг согласованы с амальгамированиями, т. е. yiftj = BiOCi (і, j Q I);
б) ^ порождается своими подсистемами Stjai;
в) для произвольных гомоморфизмов SIi SJi в любую Й-систему ЗЛ, согласованных с амальгамированиями, существует гомоморфизм ?: ^ ЗЛ, удовлетворяющий соотношениям aj = aj| (і ? I).
Если Si = 0, то указанное определение переходит в определение й-композиции систем без амальгамирований. Гомоморфизмы аг называются композиционными гомоморфизмами «сомножителей» Sti в их амальгамированную й-композицию Sq.
Говорят, что система St является й-произведением (или й-свободным произведением) своих подсистем Sti над (амальгамированной) подсистемой Sefl^ г» если SI есть й-свободная композиция систем Sti с тождественными отображениями (5 на © в качестве амальгамирований и тождественными вложениями Hi в SI в качестве композиционных гомоморфизмов.
Из этих определений непосредственно вытекает
Следствие 1. Каждая система !g, являющаяся Й-композицией систем St t(i Q I) с амальгамированиями (1) и композиционными гомоморфизмами Cti: Sti является в то же время Й-произведением своих подсистем Stjai над амальгамированной подсистемой ©гаj.
Если система И есть й-свободное произведение своих подсистем SIi {i Q I) над амальгамированной подсистемой © ^ QSti, то St есть й-свободное произведение систем Sti над любой более широкой системой содержа-
щейся в переселении всех систем Sti.
Существование й-композиций с амальгамированиями и их единственность вытекают из стандартного задания этих композиций при помощи определяющих соотношений, которое строится следующим путем. Рассмотрим какую-нибудь последовательность систем Sti (і ? I) с амальгамированиями (1). Каждому элементу a Q SIi ставим в соответствие особый символ Zo и обозначаем через Da (SIi) атомарную диаграмму системы Hi, записанную в символах Z1a. Обозначим через A v совокупность равенств
Zo = Zayij («. /6-0. § 12] свободные системы и композиции 312
описывающих амальгамирования подсистем Stj. Сравнивая определение амальгамированной композиции и определение системы с данными определяющими соотношениями, непосредственно видим, что
