Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно теореме 1 система 21 задается в классе Я порождающими символами zia (а ? 21 г, i?I) и определяющими соотношениями UAt(SIi)- Так как отображения Pj- — гомоморфизмы, то формулы из Da (Stj) истинны в 95 при значениях zia —>a%i?іф (a ?21?). Из определения определяющих соотношений следует, что существует гомоморфизм 21 —» 55, для которого aotj? = aXi?*<pi т. е. =
= Xi?iq)- ЕСЛИ ГОМОМОрфиЗМЫ Xi являются Эпиморфизмами,
то 211 содержит все системы Системы 95j?^ в сово-
купности порождают 35 и потому §[? = 35. Если эпиморфизмы Xi являются изоморфизмами, то можно поменять ролями St и 95 и получить обратный эпиморфизм
Из приведенных ниже примеров будет видно, что в отличие от декартовых и фильтрованных произведений здесь уже нельзя утверждать, что если lKi являются изоморфизмами 21 j внутрь 95іф, то I будет также изоморфизмом 21 внутрь 95.
Теорема 3 (ассоциативность свободных композиций). Пусть заданы некоторый класс Я алгебраических систем сигнатуры Q и последовательность {Stj І і ? 1} систем сигнатуры Q. Разобьем I на произвольные попарно не пересекающиеся непустые подмножества Ill (р, ? М). Тогда
Xi: SIj SSll
«її=XiPi4) (Ki)-
Г1: 35—» SL § 12] свободные системы и композиции 303
В самом деле, пусть
= (і Си). ® = П*®И (И-ЄМ)
и
?in: Sti —^ QSm. (;?/„), Pli: SB11-»« (ЦЄІИ)
— соответствующие композиционные гомоморфизмы. Покажем, что является й-композицией систем SIj (г QI) с композиционными гомоморфизмами а; — ?in?n,: SIj->95. Пусть заданы произвольные гомоморфизмы ^i: Stj-^S в произвольную й-систему (5. Так как SSjl есть Й-комно-зиция систем Sti (IQIv), то найдется гомоморфизм
удовлетворяющий соотношению
Yi = PiuSix (3)
Так как 35 есть й-композиция систем 95^ (^i ? М), то найдется гомоморфизм 95 -»- для которого
^ = PuS ¦ (4)
Из (3), (4) получаем равенства
показывающие, что 95 есть й-композиция систем SI i(i Q I). Согласно следствию 2 й-композиции определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
Напомним, что класс й сигнатуры Q называется реплично полным, если каждая система St сигнатуры Q имеет в й определенную реплику St^. Выше указывалось, что понятие й-композиции является расширением понятия реплики. Простейшие связи между обоими понятиями указывает
Теорема 4. Пусть й —реплично полный класс сигнатуры ?2. Тогда для любой последовательности {St і j і Q 1} систем сигнатуры Q
(І Є Л (5)
St ^
и для любого реплично полного подкласса ? ^ Й
11*?*=Ob^V (6) 304
квазимногообразия
[гл. v
Докажем первое утверждение. Пусть
* = П •(«<)*
?,: (Я,)*-* «,
— соответствующие композиционные гомоморфизмы и репличные ff-морфизмы. Покажем, что 95 есть ff-композиция систем Slj (і Є /), отвечающая композиционным гомоморфизмам
at = HiPi: Яг-*95.
О» ?
Прежде всего, ясно, что совокупности
я"1 = (Иг)®
порождают 95. Далее, пусть заданы гомоморфизмы
Yi: Sti->®
в какую-то ff-систему По основному свойству ff-реплик отсюда вытекает существование гомоморфизмов Ii: (Я j)^ —> —» S, удовлетворяющих условиям
Y J = Xib- (7)
Так как система 95 есть ff-композиция систем (Яг)®, то найдется гомоморфизм |: 95 —» © такой, что Ii = ?j|. Сравнивая эти равенства с равенствами (7), получаем соотношения
Yi = (*»?j) І (KI),
показывающие, что 95 является ff-композицией систем Hi.
Второе утверждение теоремы доказывается аналогично. ff-композицию можно рассматривать как операцию, которую можно выполнять над любой совокупностью систем сигнатуры Q. Если системы рассматривать лишь с точностью до изоморфизма, т. е. вместо систем рассматривать их изоклассы (п. 2.2), то доказанные выше теоремы показывают, что операция ff-композиции будет однозначной, коммутативной и ассоциативной. Например, если обозначить через U™ совокупность изоклассов систем конечной сигнатуры й, мощность которых не пре- § 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
305
восходит бесконечного кардинального числа ш, то относительно операции Я-композиции пар систем совокупность U™ будет просто коммутативной полугруппой <¦U™ .).
Формально операция Я-композиции определена для любых систем сигнатуры Q, в том числе и для систем, не принадлежащих классу St. Однако изоморфизм (5) показывает, что результат композиции зависит не от самих множителей Яа только от их Я-реплик, и потому все сводится к Я-композициям Я-систем.
Композиционные гомоморфизмы аг: Sli -> SI отображают сомножители Slj на какие-то подсистемы SIii композиции Si. Спрашивается, при каких условиях гомоморфизм OCj будет изоморфизмом? Ясно, что для этого необходимо, чтобы SIj принадлежала S Я. Однако на примерах легко убедиться, что для ряда важных классов систем композиционные гомоморфизмы могут не быть изоморфизмами даже и в тех случаях, когда все сомножители принадлежат классу Я.
Тем ие менее из следующих ниже замечаний видно, что при достаточно естественных условиях композиционные гомоморфизмы оказываются изоморфизмами.
Говорят, что системы Slj (і € I) совместно вложимы в некоторую Я-систему, если для подходящей Я-системы Sl существует совокупность изоморфизмов
