Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
9. Сингулярные подкомплексы
211
Ясно, что S — простая диаграмма. Применим теперь склеивание и разрезание к 5. На каждом шагу мы имеем диаграмму с компонентами S0, ¦ ¦ ¦ , SK, где S0 имеет граничную метку w0, представляющую тот же элемент в N, что и w, а остальные S,- — сферические диаграммы без границ. Индукцией по длине слова w0 мы обязательно получим в таком случае, что w0 полностью приведено, а значит да0=ш. Тогда S0=S* имеет нужные свойства. ?
Следствия этой теоремы ван Кампена будут широко представлены в гл. V. Сделаем только два отступления, чтобы привести поясняющие примеры, для которых развитой к настоящему моменту техники достаточно. Первый пример, для которого иное доказательство было предложено Линдоном [1962], интересен своей аналогией с результатом Крейга [1957] в математической логике.
Предложение 9.3. Пусть F — свободная группа с базисом X и пусть Y, ZcX1 /3SGp(F), QsGp (Z). Если QsNcI^(P), то существует множество MsGp(FnZ), такое, что /WsNcl^/3) и Qs SNcV(M).
? Не уменьшая общности, можно предположить, что X=Y (J Z, Q состоит из одного элемента q (нетривиального циклически приведенного), а множество P конечно и циклически приведено. Тогда в представлении G=(X; P) элемент q принадлежит нормальному замыканию N множества P в свободной группе F с базисом X. По утверждению 9.2 существует простая диаграмма S над (X; P) с граничной меткой q. Пусть S' — результат удаления всех внутренних ребер в S. Тогда каждая грань D' в S' является объединением граней D из S, а поскольку граничные метки этих граней D лежат в /3SGp(F), все ребра на границах граней D' из S' лежат в F(J F-1. С другой стороны, граница каждой клетки D' из S' является частью границы dS, значит, имеет метки, содержащиеся в q, а следовательно, принадлежащие Z(JZ-1. Поэтому у каждой грани D' в S' метка находится в Gp(FnZ). Если в качестве M взять множество граничных меток граней D' из S', то из связи между ShS' легко вывести, что условия предложения выполнены. ?
В качестве второго следствия теоремы 9.2 ван Кампена мы приведем доказательство теоремы о свободе Дэна и Магнуса (см. II.5.1). Предлагается пересмотренный вариант доказательства Линдона [1972]; очень близкие соображения высказал Вайнбаум [1972].
Предложение 9.4. Пусть г — циклически приведенный элемент свободной группы F с базисом X, aw — произвольный нетривиальный элемент из нормального замыкания слова г в F. Тогда каждый х ? X, который встречается в г, встречается также и в w.
212
Гл. III. Геометрические методы
Оба доказательства — как оригинальное доказательство Магнуса, так и приводимое ниже — проводятся по индукции, и, хотя это две разные индукции, оба они устанавливают более общую форму теоремы о свободе. Чтобы ее сформулировать, мы назовем представление G=(X; R) ступенчатым, если и R, и некоторое подмножество Х0_=.Х линейно упорядочены, так что
(1) каждый элемент г в R циклически приведен и содержит некоторый X Q X0;
(2) если г, г' QR и r<j\ то г содержит некоторый xQ X0, который предшествует всем X Q X0, встречающимся в г', а в г' содержится некоторый X Q X0, встречающийся после всех вхождений элементов из X0 в г.
Предложение 9.5. Пусть G = (X; R)—ступенчатое представление и w лежит в нормальном замыкании множества ReF. Если хюф\, то w содержит некоторый х Q X0. Допустим, далее, что ха является наименьшим из элементов множества X0, входящих в w, а хь — наибольшим. Тогда w лежит в нормальном замыкании множества R0 в F, где R0 состоит из тех г QR, которые содержат лишь такие х Q X0, что ха ^ х хь.
Доказательство предложения 9.4. Чтобы вывести 9.4 из 9.5, допустим, что х Q X встречается в г, и применим 9.5, считая R = {r), X0= {х}. ?
Доказательство предложения 9.5. Ввиду теоремы 9.2 ван Кампена предыдущее предложение эквивалентно следующему. ?
Предложение 9.6. Пусть G=(X; R) — ступенчатое представление, а А — нетривиальная диаграмма над этим представлением. Если X — наибольший или наименьший из элементов множества X0, встречающихся в виде метки на ребрах диаграммы А, то х является меткой на некотором ребре границы (ЗА.
Будет проводиться доказательство «от противного». Оно применимо и к случаю, когда А есть конечное разбиение сферы. При этом получается следующее. Определим приведенную диаграмму как диаграмму, не содержащую поддиаграмм А', обладающих ровно двумя клетками и таких, что метка на дА' приводима к тривиальному элементу в F.
Предложение 9.7. Если G=(X; R) — ступенчатое представление, то над ним не существует приведенных сферических диаграмм. ?
Доказательство предложения 9.6. Доказательство будет вестись индукцией по числу граней в А. Сделаем несколько упрощающих предположений. Во-первых, можно считать
9. Сингулярные подкомплексы
213
диаграмму А приведенной. Во-вторых, достаточно ограничиться случаем, когда А (если она не является сферой) есть комбинаторный круг. Далее можно считать, что X и R конечны, скажем R = =={/"i, ¦•• , rm}> "O=I и fi<.. .<rm, что каждый элемент X QX встречается в некотором rt и что T1 и гт действительно встречаются в качестве граничных меток граней из А.
