Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
аг4- Ь cz + a
8. Планарные группы с отражениями 205
для действительных а, Ь, с, d, ad—be=—1, где г есть комплексно сопряженное к z.
Мы ограничимся нахождением класса представлений, который содержит все NEC-группы, и только такие группы. По вопросам классификации NEC-групп см. работы Макбета [1967], Тукья [1972] и Келлера [1973]. Теорему о подгруппе и об индексе см. у Хора, Карраса и Солитэра [1973]. О кручении в этих группах см. книгу Цишанга, Фогта, Колдьюи.
Стоит отметить, что мы допустили уже в f-группах элементы, которые изменяют ориентацию их комплекса Кэли или фуксова комплекса, однако, как мы увидим, рассматриваемые сейчас группы образуют более широкий класс. Они представляют собой попросту дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Для удобства наших комбинаторных рассмотрений определим NEC-группу как группу, действующую на двумерном комплексе К, который комбинаторно является (гиперболической) плоскостью, причем действие регулярно на гранях комплекса К. Подчеркнем, что теперь опускается прежнее условие, что только тривиальный элемент из G может фиксировать какое-либо ребро.
Назовем элемент группы G четным, если он сохраняет ориентацию комплекса К, и нечетным в противном случае. Рассмотрим теперь нетривиальный элемент из G, оставляющий на месте ребро е комплекса К. В любом случае он должен переставлять две грани в К, разделенные ребром е, а значит, является инволюцией. Если он переставляет концы ребра е, то является, как легко понять, четным. В этом случае можно изменить К, вводя новую вершину V, делящую ребро е на две части, и считать, что§, оставляя на месте и, переставляет (учитывая ориентацию очевидным образом) две части ребра е. Для каждого g это может быть проделано единообразно, более того, это можно сделать одновременно для всех элементов такого вида. Совершенно так же, как в случае фуксовых комплексов для F-rpynn можно, не теряя общности, считать, что, если элемент из G оставляет на месте ребро, то он оставляет неподвижными оба его конца.
Нетривиальный элемент из G (обязательно инволюция), оставляющий на месте ребро комплекса К, будем называть отражением в этом ребре. Если теперь приступить к построению из фуксова комплекса К дуального комплекса Кэли С, то все, как и прежде, идет хорошо, кроме того, что, когда х — отражение, в каждой вершине имеется лишь одно ребро е* из С, помеченное и меткой X и меткой х~*. Эта ситуация была предусмотрена в определении видоизмененного комплекса Кэли, где к F добавлено множество инволюций У. Таким образом, мы имеем видоизмененное представление G= ==(Х, У; R) с комплексом C=C(X, J; R), дуальным к К, где J есть прообраз в F подмножества отражений среди порождающих группы G.
Цель настоящего раздела состоит в том, чтобы, используя при-
206 Гл. III. Геометрические методы
веденные выше соображения, получить нечто вроде канонической формы для представления NEC-группы. Аргументы аналогичны тем, которые были заимствованы нами у Нильсена, Хора, Карраса и Солитэра и Цишанга, Фогта и Колдьюи при рассмотрении F-rpynn. Доказываемая теорема 8.1 не нова, но довольно сложно формулируется, поэтому мы предпочитаем отложить доказательство до тех пор, пока не познакомимся с доводами, благодаря которым теорема окажется не только верной, но и естественной.
Предполагается, что G есть NEC-группа с фуксовым комплексом К и видоизмененным представлением G=(X, J; R), комплекс Кэли которого дуален к К. Не вдаваясь в дальнейшее рассмотрение комплекса К, будем менять представление, не изменяя J, чтобы свести его к частично каноническому виду.
Напомним, что из каждой вершины (видоизмененной) диаграммы Кэли С выходит ровно одно ребро для каждой метки множества L = XuX-1UJ- Для каждой вершины g образуем циклически упорядоченное (в естественном смысле) множество R (g), составив его из положительных граничных меток на гранях с вершиной g, начинающихся с g. В частности, для каждого элемента из L в R (g) содержится ровно одно слово, начинающееся с данного элемента. Пусть 5 (g) — множество корней из элементов множества R(g). Заметим, что если элемент h четен, то R (gh) = R (g), а для нечетного h получим R(gh) = R(g)-1 (с обратным порядком). В частности, если pq принадлежит R (g) и элемент р четен, то qp принадлежит R (gp) = R (g), если же р нечетен, (qp)-1 лежит в R (g).
Пусть S = S(I); тогда для каждого xZJ существует ровно один элемент tx = xu в S, начинающийся с х. Поскольку элемент х нечетен, (их)-1 = xu~l Z S, откуда хи = хи-1, и = и-1, а инволюция и имеет вид ayw1 для некоторого у Z J- Значит,
tx = xaya~1 для некоторых уZJ и а.
Точно так же в S есть ровно один элемент Vx, оканчивающийся на x1 и
Vx = bzb-1x для некоторых zZJ и Ь.
Заметим, что Ix и Vx сопряжены со своими обратными. Теперь мы покажем, что любой элемент t множества S, включающий в себя х, сопряжен с tx или с Vx. Если t содержит X, то можно записать t = uxv. При четном и получим xvuZS, откуда xvu = tx. Если элемент и нечетен, то (хи«)-1 = U-1V-1X ZS, а значит, W1V-1X = Vx, t сопряжен с XVu = Vx'1, а так как Vx-1 сопряжен с Vx, то и t сопряжен с Vx.
