Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Знаменитая" теорема, сформулированная Фенхелем (см. Бун-гард и Нильсен [1951]) и доказанная Фоксом [1952] (см. также Меннике [1968] и Фейер [1971]), утверждает, что каждая F-группа содержит подгруппу без кручения конечного индекса. Доказательство Фокса основано на детальном изучении конечных групп подстано-вок. Нам не известно доказательство, которое было бы полностью в духе настоящего изложения. Мы приводим рассуждения, основанные на представлении таких групп матрицами. Такой подход находится в соответствии с идеями, которые будут обсуждаться позднее. Это доказательство, по существу, мы находим у Цишанга, впервые же оно приведено Макбетом. Нужно отметить, что с помощью похожих рассуждений Сельберг [1960] показал, что в конечном расширении F-группы без кручения G два элемента бесконечного порядка тогда и только тогда сопряжены, когда они сопряжены в любой ее? конечной факторгруппе. Стиб [1972] установил последнее утвержде--
рим более экономное представление вида
G = U1, .... Xp-j-, хТ1, xmpp-\ (X1...X -ifp).
7. Фуксовы комплексы
201
ниє для всех F-групп. См. также Маккул [1969], Маккул и Шупп [1973].
Для доказательства придется использовать классический факт (находящийся в стороне от настоящего метода), что каждая бесконечная F-группа изоморфна конечно порожденной подгруппе дроб-нолинейной группы PSL (2, R).
Предвосхищая понятие, которое более полно рассматривается ниже (IV.4), назовем группу G финитно аппроксимируемой, если для любого нетривиального элемента g€G существует гомоморфизм <р группы G на некоторую конечную группу Я, такой, что ?Ф==М. Заметим, что в этом случае если gx.....gn — конечное множество нетривиальных элементов из G, а фь ..., фп — гомоморфизмы из G в конечные группы H1.....Hn, такие, что .... цпц>пФ
ф\, то фг индуцируют гомоморфизм ф группы G на (конечную) подгруппу H прямого произведения H1X-^xHn, такой, что
gi<P. • • • . gn<p?=l-
Центральный довод может быть приведен в более общей форме.
Предложение 7.11. Любая конечно порожденная подгруппа из SL (п, F) при любом п^\ и произвольном поле F финитно аппроксимируема.
? Пусть А — конечно порожденная подгруппа в SL (п, F). Найдется конечно порожденное подкольцо RbF, такое, что A s ^SL (п, R). Для любого простого идеала / кольца R группа SL («, R) аппроксимируется конечными группами SL(«, R/lm),
со
m=l, 2, ... , так как \R/Im\<oo и п 1т=0. Поэтому и А финит-
m=i
но аппроксимируема. ?
Предложение 7.12. Каждая F-группа содержит подгруппу конечного индекса без кручения.
? Если F-группа G конечна, то утверждение тривиально. Таким образом, мы можем предположить, что группа G строго планарна и ввиду замечания, сделанного выше (но не доказанного), изоморфна конечно порожденной подгруппе в PSL (2, R), а значит, факторгруппе подгруппы G из SL (2, R) по подгруппе {1, —1}. По предложению 7.11 группа G финитно аппроксимируема, откуда легко выводится, что и G финитно аппроксимируема. Для группы G, представленной канонически, обозначим через А конечное подмножество всех нетривиальных степеней элементов X1, ... , Хр. Тогда существует гомоморфизм ф группы G на конечную группу Н, такой, что ацф\ для всех а?А. Пусть N — ядро отображения ф. Подгруппа W имеет конечный индекс в G и не содержит ни одного а из А. Но, как известно из 6.2, каждый нетривиальный элемент конечного
202
Гл. III. Геометрические методы
порядка в G сопряжен с некоторым a? А. Следовательно, в N нет нетривиальных элементов конечного порядка. ?
Всегда можно выбрать N как группу поверхности, т. е. фундаментальную группу замкнутого двумерного многообразия, а следовательно (см. Цишанг, Фогт и Колдьюи), замкнутого ориентируемого многообразия. Тогда ясно, что число п для G должно совпадать с числом n'=2g для N. Для данной группы G и конечной группы Г вопрос о числе гомоморфизмов из G на Г с ядром, изоморфным N, был рассмотрен Ллойдом [1972].
Мы видели, что каждая подгруппа конечного индекса в F-rpyn-пе сама оказывается F-группой. С другой стороны, можно исследовать вопрос, каковы группы, содержащие F-группу как подгруппу конечного индекса. Очевидная проверка показывает, что нужно наложить некоторые другие ограничения, если мы хотим избежать тривиальности. Была высказана гипотеза, что если группа G без кручения и содержит F-подгруппу конечного индекса, то G также F-группа. Рассуждения Цишанга [1971], устанавливающие этот факт, к сожалению, зависят от недоказанного утверждения Краве-ца [1959]. Однако этот пробел был устранен Цишангом [1974].
Следующее утверждение есть небольшое обобщение более слабого результата из статьи Цишанга.
Предложение 7.13. Если в группе без кручения есть центральная свободная абелева подгруппа конечного индекса, то и сама группа свободная абелева.
? Допустим, что G — группа без кручения и А — центральная свободная абелева подгруппа конечного индекса. Пусть А вложена в прямую сумму А экземпляров аддитивной группы рациональных чисел, a G — прямая сумма G и Л с объединенной подгруппой А. Тогда А нормальна в G и GIA^GIA=H— конечная группа. Поскольку G является центральным расширением делимой группы А с помощью конечной группы Я, расширение расщепляется и G изоморфна прямой сумме А и Я. Пусть а и ? — индуцированные проектирования группы G на Л и на Я, причем отображение а тождественно на A. Если g QG Hga=l, то Gp(g)a=l, значит, ? отображает Gp (g) изоморфно в Я, а так как Я конечна и G — группа без кручения, отсюда следует, что g=\. Таким образом, а отображает GbA изоморфно и а тождественно на А. Если g лежит в G, но не в Л, то некоторая степень g" принадлежит подгруппе Л, поэтому (ga)n Q А. Следовательно, группа Ga порождена конечным множеством таких корней ga из элементов подгруппы Л, а потому является свободной абелевой группой. ?
