Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим теперь, что X встречается дважды в.tx, т. е. Ix = = xuxv для некоторых и, v. Если хи — четный элемент, ТО XVXU Z S,
Откуда XVXU = tx, НО ИЗ XUXV = XVXU Следует, ЧТО XU И XV являются
8. Планарные группы с отражениями
207
степенями одного элемента ш, т. е. Ix есть собственная степень элемента w вопреки тому, что Ix— корень. Поэтому хи нечетен н (xvxu)-1 = U-1XV1 XQS, откуда W1Xv-1X = Vx, Ix1 сопряжен с Vx, а значит, Ix и Vx сопряжены. На самом деле мы убедились, что циклическая перестановка xvxu элемента tx совпадает с Vx'1, Так как разные циклические перестановки корня различны, элемент tx имеет вид хи XV для единственного и; это означает, что х встречается в Ix только дважды. Далее, Ix имеет вид xayw1, причем X не может входить в а, ибо иначе х входил бы и в W1, т. е. встречался бы в tx более, чем два раза. Следовательно, X = у и tx = xaxw1, a t'x = a-1xax.
Покажем, что в Ix = XUyW1 элемент а не содержит ни одной буквы г из множества J. Если бы z встречался в о, то 2 входил бы и в w1, т. е. гфх, у. Кроме того, tx был бы сопряжен с Ix = ZCZc-1, а так как tz содержит х, то в tz элемент х должен встречаться дважды, откуда у = х и Ix = хах-1а. Но а имеет вид
UZV а потому Ix = XUZVXV-1ZW1. если XU- чєтньій 9ЛЄМЄНТ, то
ZVXv-1ZW1XU лежит в S, значит, совпадает с tz, а следовательно, W1Xu = (vxv-1)-1 = VXW1 и t'z = (zvxv-1)2, что невозможно, ибо iz— корень. Если же хи — нечетный элемент, то точно так же приходим к невозможному равенству tz = (VXv-1Z)2.
На множестве вершин J построим граф Г, вводя неориентированное ребро между хну для каждого элемента Ix = xayw1. Из сказанного выше вытекает, что если tx = XaX-1U*1, то в Г есть компонента, состоящая из цикла длины 1 с одной вершиной х. Для любого другого X имеем tx = xaya~l и t'x=bzb-1x сопряжен с tz = Zb-1Xb, т. е. X принадлежит ровно двум ребрам. Следовательно, граф Г распадается на циклы Г,-, /=1, т.
С циклом Yj = (Xj1, Xjnj) мы свяжем множество Tj, состоящее из всех tjh = tx , где индекс h меняется циклически по модулю Uj. Ясно, что объединение Т* множеств Tj содержит все tx.
В следующей теореме обоснованы уже все утверждения, кроме последнего.
Предложение 8.1. Пусть G есть NEC-группа. Тогда G обладает представлением G = (XuJ; R0UR1UR2) следующего вида: J есть дизъюнктное объединение упорядоченных множеств Jj = = (Xj1, ..., Xjn), Hj^l. Множество R0 состоит из всех x2jh для
xjh Q J-
Множество R1 является объединением множеств
Здесь mJh —положительные целые числа и tJh = XjnUjnXj, h+1a~h (индекс h изменяется циклически по модулю Uj), где ajh—слова,
208
Гл. III. Геометрические методы
содержащие лишь порождающие из X. Множество R2 состоит из слов вида rk = s™k, где mk положительные целые числа, a sk—слова, содержащие только буквы из X. Наконец, в множестве всех aJh и всех sk каждый порождающий из X встречается ровно два раза.
? Осталось только доказать последнее утверждение. Мы знаем, что для каждого z из X существует ровно один элемент в R(I), начинающийся с z, и один, начинающийся с г-1. Это уже дает различные вхождения буквы z в определяющие соотношения, откуда следует, что z встречается по крайней мере дважды. Наоборот, вхождение z в элемент из Ri и дает элемент из R(I), начинающийся с z или г-1, причем различные вхождения, либо вхождения в разные соотношения дают начала разным элементам множества R(I). Осталось убедиться, что вхождение буквы z в некоторое а1п (дающее два вхождения в tjh) дает единственный элемент из R(\), начинающийся с г или г-1. Упрощая обозначения, положим tjh = t=xaya-1, где a=uzv, т. е. t=xuzvyv~xz~xu~x. Поскольку х и у нечетны, а все остальные множители четны, циклическая перестановка, полученная перемещением начального отрезка хи в конец слова t, не принадлежит R(I), но обратный элемент, оканчивающийся на г-1, лежит в R (1). Однако перемещение отрезка х и г в конец дает элемент (vxv~1z~1u~1xuz)~1 = z~1u~1xuzvxv~1 множества R(\). Другая возможность получения элемента из R(I), начинающегося с 2 или Z-1, состоит в перемещении в конец четного отрезка, включающего в себя обе буквы х. Для этого нужно переставить в конец отрезок xuzvxv'1. Но это дает тот же элемент из R (1), что и раньше. Таким образом, показано, что данное вхождение z (или аналогично Z-1) в некоторое слово ajh дает только один элемент множества R(\), начинающийся с г или г-1, чем и заканчивается доказательство. ?
9. Сингулярные подкомплексы
Определим сингулярный подкомплекс S двумерного комплекса С как пару (S, /), где S есть двумерный комплекс, а / — отображение из S в С, которое сохраняет размерность и инцидентность. Мы будем иметь дело исключительно с сингулярными подкомплексами комплекса Кэли C=C(X; R) группы G с представлением G= (X; R). В целом кажется более естественным работать с комплексом Кэли С, хотя иногда предпочтительнее рассматривать факторкомплекс K= = К(Х; R) (см. 4.3). Так или иначе, естественное отображение комплекса С на К позволяет считать каждый сингулярный подкомплекс в С сингулярным подкомплексом также и в К. Если S — сингулярный подкомплекс в С, то метки на С индуцируют метки на S. Мы часто будем употреблять термин диаграмма для сингулярного подкомплекса, снабженного этими индуцированными метками, а по-
