Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть X* = XxZ, F—свободная группа с базисом X*, а L* = X*uX*"\ Для у ZL, H = X*1, X?Х положим у (і) = (х, і)*1 € ZL*. Определим новую функцию ф*, сопоставляющую ребрам диаграммы А элементы из L*, полагая ец>* = у (і), где eq> = у = Xі1, a i = va для начальной вершины ребра е±х. Тогда
Y^ = T(O) = W1 (I1) ... yn(in),
где
ik= (Уї ¦ • ¦ Ук-і)°> если Уь€х>
и
ік = (Уі ¦ • • Ук)о, если ykZX-K
Следовательно, для любой грани F
yFy* = г (A) = ух (Z1 + h)...y„ (in + А),
где H = VfO. Теперь А (с функцией ф*) является диаграммой над #* = {г (A); A^Z}, и если ХЦ = {л:0 (А); А Є Z}, причем в X* и R* порядок индуцирован порядком на Z, то представление (X*; R*) ступенчатое. Кроме того, никакой X0 (А) Є XJ не является меткой на дА. Если грани в А имеют граничные метки yFty* = r (А) для более чем одного значения А, то мы попадаем в случай т > 1 с неизменившимся числом граней на А, и доказательство заканчивается.
Высказанные соображения не проходят, только если VfO = O для базисных точек Vf всех граней F. Допустим, что так оно и есть. Пусть P1« рг. Это соответствует двум отмеченным вхождениям некоторого у в г в одной из следующих форм: r = uywyz или г = UyWy1z. Определим значение р. на интервале между точками, отвечающими двум позициям буквы у. В первом случае это J(P1, p2) = (yw)n, во втором — J(px, p2) = (ywy~1) р, = (w) [I. Заметим, что если рх » р2 « р3, то J (рх, р3) = J (рх, р2) + J (р2, р3). Поэтому, если рх ~ р2 влечет за собой J (рх, р2) = 0, то из рх « ра следует J (P1, P2) = 0.
Пусть Pi~ р2, причем P1Ji = р2п = у и pt = ei|)Fl> р2 = ег|)/г2, как и выше. В зависимости от того, одинаковую или противоположную ориентацию имеют Yf1 и yF,, возможны два случая. Если ориентация одинаковая, то r = uywy-1z и е отвечает выделенному вхождению у в уF1(P и вхождению у1 в Yf^- Пусть V—начало ребра е. Тогда на Yf1 имеем «р. = да—vxo, а на Yf2 получим (uywy1) \i = vo — V2O. Если U1O = ^a=O, то и^ = (uywy1)^ и
216 Г л. 111. Геометрические методы
J (P1, P2) = (w) и = 0. В случае когда ориентации противоположны, r = uywyz и е соответствует, скажем, первому вхождению у в уF1(P и второму вхождению в уF1(P- Если V1O = V2O = 0, то здесь получится uu = (uyw)u и опять J(P1, P2) = 0. Таким образом, предположение, что все VfO равны 0, влечет за собой равенство J (Pi' Pt) — 0 ПРИ Pi ~ Рг> а поэтому из P1 а; р2 следует У (P1, р2) = 0.
Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что и можно выбрать так, что при некоторых рх«р2 мы получим J(Pi' Р2)Ф®- То есть мы должны указать в г (или некоторой циклической перестановке слова г± 1) вхождение ywy с (yw)ифО или вхождение ywy1 с дар # 0.
Функция р определена своими значениями p^ = x,p, которые подчинены единственному ограничению: ^а{\1{ = 0, где а,—сумма показателей вхождений X1 в г,-. Допустим сначала, что некоторый а,- равен 0. Если в г± 1 входит X1Ux1, где « не содержит X/, то мы могли бы выбрать (х,-ц) р, = а;,р. + ии произвольно. В противном случае, поскольку X1 встречается по крайней мере дважды, слово г (или циклическая перестановка слова г± *) обязательно имеет вид г = XiU1XT1V1.. .X[UkXilvk, причем Xi не встречается в uh, vh. Если некоторая буква у встречается ив U1 и в V1, то можно выделить вхождение ywy± 1 в U1Xj1V1, в котором слово w содержит Xi лишь один раз, а значит, величина (yw) р. (или wu) может быть сделана произвольной. Следовательно, можно предполагать, что в U1 и в V1 нет общих букв. Теперь, если, скажем, V1 содержит какой-то X1, причем ^ФО, то можно добиться того, чтобы u1[x^=O, если только в V1 не содержатся все такие Xj. Поэтому в любом случае позволительно считать, что U1 содержит Xj только при условии uj = 0. Наконец, если выбрать вхождение xejWxft(e,/= ± 1) в XiU1XJ1 при кратчайшем возможном w, то w будет содержать некоторый xh только один раз, а так как ай = 0,"то значение wu можно сделать любым.
Осталось рассмотреть случай, когда все а, отличны от 0. Если в слове г (или циклической перестановке слова r± *) есть вхождение вида X[UxJ1, где и не содержит X1, то можно выбрать ии Ф 0. Итак, мы можем предполагать, что каждый X1 входит в г везде с одним и тем же показателем, например -f-1. Тогда, если в г есть подслово XjUXj, то легко выбрать (х;и)иф0, кроме случая,; когда все х/Фхі встречаются в и. Значит, теперь можно считать,!
ЧТО Между ЛЮбыМИ ДВуМЯ ВХОЖДеНИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО Xj есть;1
вхождение каждого другого xf. Но это означает, что для некоторой перестановки индексов л
Г = (Xn (і) . . . Xn (П)У' t~^\.
Поскольку г не является собственной -"степенью, t = 1. Одна< ко тогда X0 содержится в г только один раз вопреки предполо-5 жению. Этим заканчивается доказательство предложения 9.6. ?
10. Сферические диаграммы
217
10. Сферические диаграммы
В предыдущем разделе мы отбросили сферические диаграммы, глядя на них лишь как на неизбежное неудобство. Однако они имеют теоретико-групповое значение, которое мы теперь выявим. Прежде чем приступить к этому, отметим, что использовались и другие типы сингулярных подкомплексов, или диаграмм, помимо сингулярных кругов и сингулярных сфер. Сингулярные кольца, или кольцевые диаграммы, применены Шуппом [1963, см. V. 5] в связи с проблемой сопряженности. Шупп (не опубликовано) использовал диаграммы двумерных многообразий для исследования решений квадратных уравнений в группах и для доказательства теоремы Нильсена, что для канонического представления G= (X; г) группы поверхности каждый автоморфизм в о=индуцирован некоторым автоморфизмом свободной группы F с базисом X.
