Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
7. Фуксоеы комплексы
203
Сделаем несколько других замечаний, относящихся к тем ґ-груп-пам, которые являются фундаментальными группами двумерных многообразий, т. е. имеют вид 5.3 с р=0 и обладают представлением G=(о). Их группы автоморфизмов привлекают большое внимание. По основному результату Нильсена [1927] (эту теорему и другие см. в книгах Магнуса, Карраса и Солитэра и Цишанга, Фогта и Кол-дьюи), если G=n (M) — фундаментальная группа замкнутого двумерного многообразия М, то группа ее внешних автоморфизмов Out (G)=Aut (G)IJA (G), где JA(G) — группа внутренних автоморфизмов группы G, изоморфна группе A (M) всех автогомеоморфизмов многообразия M по модулю группы всех изотопии (компоненты 1 в A (M)). Вторая теорема Нильсена [1927] (см. также Цишанг [1966] и Печиньски [1972]) утверждает, что каждый автоморфизм группы G=(а) индуцирован некоторым автоморфизмом группы F. Это означает, что группа Out (G) изоморфна стабилизатору подгруппы N в Aut (F) по модулю внутренних автоморфизмов группы F, т. е. по (II.5) — подгруппе A{(q), (о-1)}, стабилизирующей множество циклических слов {(q), (q-1)} в Out (У7). Порождающие для Out (G) (а также для Aut (G)) могут быть найдены из работы Нильсена или из 1.5.1. Краткий список порождающих с простым топологическим смыслом был получен Ликоришем [1963, 1964], однако нетопологического доказательства этого результата мы не знаем. Как замечено ранее в 1.5.5, конечные представления для таких групп могут быть получены с помощью результатов Маккула. См. также работы Бирман [1969, 1970] и Бирман и Хилдена [1971]. Отметим, что Нильсен [1942] показал, что каждая конечная циклическая группа в Out (G) является естественным изоморфным образом группы из Aut (G) 1K Кравец [1959] пытался доказать, что по аналогии с (1.4.14) каждая конечная подгруппа в Out (G) есть естественный изоморфный образ подгруппы из Aut (G), однако его рассуждения неполны; см. Цишанг [1974].
Ранг (минимальная мощность множества образующих) f-группы G вычислен. Во-первых, если G свободна или не является конечно порожденной, то ответ очевиден. Далее, если р=0, т. е. G=(X; q), то rank G=IX]. Если G=(S1, . .. , sp, X; sfi, . .. , s™p, S1. . .spq),
«7=7==1, то rank G=|X|+p—1. Если G=(S1,... , sp; sf1......s™?,
S1.. .Sp), р^З, то, за отмеченным ниже исключением, rank G=p—1. Этот результат принадлежит Цишангу [1970], который проглядел, однако, исключительный случай. Берне, Каррас, Петровски и Пу-жицки (не опубликовано) заметили, что следующий случай является особым. Для групп последнего типа, если р четно,tri!=... ...=/пр_1=2, a trip нечетно, то rank G=p—2. Окончательный вариант
*) Это верно и для любой конечной разрешимой группы, см. Макбет [1962]. Маклахлан и Харви [1975].— Прим. ред.
204
Гл. III. Геометрические методы
(исправляющий некоторые ошибки Цишанга [1970]) приведен Пе-чиньски, Розенбергером и Цишангом [1975].
F-группы G=(j/!,... , уп\ а) вида 5.3 суть фундаментальные группы замкнутых двумерных многообразий. По аналогии со (строго) квадратичными множествами слов Ньювирт [1970] называет множество S слов в F я-ичным, если каждый порождающий из X встречается в элементах из S точно п раз. Он показал, что если G есть фундаментальная группа замкнутого n-мерного многообразия, то для некоторой свободной группы F1 свободное произведение G*FX имеет представление (X; R) с /г-ичным множеством R. Хор (не опубликовано) показал, что для п=3 сама группа G обладает таким представлением. Марковым [1958] (см. Масси, Столлингс [1977, стр. 158]) доказано, что каждая конечно представимая группа является фундаментальной группой некоторого замкнутого л-мерного многообразия для любого п^4. Хотя многое здесь известно, но полного описания множества представлений, дающих фундаментальные группы 3-мерных многообразий, нет. По этому поводу мы отсылаем к Столлингсу (см. Масси, Столлингс [1977]).
Отметим еще лишь два частных утверждения. Во-первых, Скотт [1973] показал, что каждая конечно порожденная подгруппа фундаментальной группы 3-мерного многообразия обладает конечным представлением. Во-вторых, известно, что любое замкнутое 3-мерное многообразие M имеет разложение с одной нульмерной клеткой, одной 3-мерной и одинаковым числом 1-мерных и 2-мерных клеток. Поскольку фундаментальная группа G у многообразия M такая же, как у его двумерного остова, можно заключить, что G имеет сбалансированное представление G=(X; R), удовлетворяющее условию |Х| = |#|. Ньювирт [1968] дал чисто теоретико-групповой способ решения вопроса, какие многообразия связаны таким образом с данным сбалансированным представлением, если таковые вообще существуют. (Мы. отмечали ранее, что число L компонент звездного графа существенно участвует в его рассуждениях.) Для некоторых маленьких представлений этот алгоритм был упрощен и использован Стивенсом (в печати) и Осборном и Стивенсом (в печати).
О когомологиях F-rpynn см. у Керрана [1972].
8. Пленарные группы с отражениями
Исследуем теперь класс групп, впервые изученных Уилки [1966] и названных им (2-мерными гиперболическими) неевклидовыми кристаллографическими группами, или NEC-группами. Это дискретные группы, которые в отличие от фуксовых групп могут содержать отражения или, аналитически, преобразования верхней полуплоскости вида
