Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Гриффите [1967] показал, что каждая /-"-группа G финитно аппроксимируема. Сах [1969] доказывает как это, так и то, что если G бесконечна, то существует нормальная подгруппа N без кручения, такая, что группа G/N конечна и разрешима. Далее он показывает, что если p(G)>0, то такая подгруппа N может быть выбрана так, что конечная группа G/N содержит произвольную конечную простую группу в качестве композиционного фактора. Он также рассматривает гомоморфизмы из группы (/, т, п) в PSL (2, К), где К — алгебраически замкнутое поле характеристики р>0, такие, что их образ конечен, а образы порождающих сохраняют порядки /, т, п; им показано, что обычно существует много нормальных подгрупп N, удовлетворяющих условию G//V^PSL(2, р*) для некоторого /.
Следующее утверждение показывает, что, кроме конечного числа исключительных случаев, абелевы подгруппы пленарных групп цикличны.
Предложение 7.10. Каждая абелева подгруппа планарной группы или циклическая, или свободная абелева ранга 2. Планарными группами, содержащими свободную абелеву подгруппу ранга 2, являютс. следующие (для краткости даем лишь список определяющих соотношений представления):
1) См. также работы А. Д. Медных 11978*, 1979*].— Прим, ред.
7. Фуксоеы комплексы
199
(1) ([уи «/*]);
(2) {УІУІУ,
(3) (X12, х\, X1X2*/2);
(4) (X1, X2, Xj1 X1, X1X2XgX4)J
г4 (6) (xj, х2, x-j, Xx2X3);
|. (7) (X1, X2, X3, X1X2X3).
? Пусть G — пленарная группа и Я — ее абелева подгруппа. Если Я есть свободное произведение циклических групп, то она циклична, ибо абелева. Если нет, то Я является /^-группой конечного индекса в G. При р>0 циклическая подгруппа элемента X1 порядка тх совпадает, как мы видели, со своим нормализатором, а значит, со всей группой Я, т. е. Я опять-таки циклична. Осталось разобрать случай р=0, когда Я имеет единственное определяющее соотношение q. Если ц=\у\, Уї\, то Я — свободная абелева группа ранга 2. При ц=у\ группа Я циклическая порядка 2. Для любых других нетривиальных q группа Я не может быть абелевой (по теореме о свободе (см. гл. IV) или потому, что Я есть нетривиальное свободное произведение с объединенной подгруппой). Мы показали, что Я или циклическая, или свободная абелева группа ранга 2.
Проверим теперь, какие /^-группы G могут содержать свободную абелеву подгруппу Я ранга 2. Как нам известно, группа G должна быть планарной F-группой и Я имеет в ней конечный индекс. Но вычисление показывает, что р(Я)=0. С помощью формулы Римана — Гурвица получим, что р (G)=O (иначе говоря, группа G должна быть евклидовой). Тогда из ц. (G)=O следует, что п=^2. Если л=2, то обязательно р=0, т. е. имеем случаи (1) или (2) нашего утверждения. В случае (1) сама группа G является свободной абелевой ранга 2. В случае (2) комплекс Кэли С комбинаторно является правильным замощением евклидовой плоскости квадратами. Легко найти пару элементов, которые (с помощью левого умножения) действуют на С как ортогональные отображения; или же можно обратиться к известному из основ топологии факту (либо к теореме Райдемайстера — Шрайера; см. Цишанг, Фогт и Колдьюи [1970, стр. 21]), что группа (2) содержит группу (1) как подгруппу индекса 2.
При и=1 условие p(G)=0 влечет за собой равенства р=2 и Щ=тг=2, т. е. случай (3). Если теперь мы образуем видоизмененную диаграмму Кэли (см. 111.4 выше) по отношению к инволюциям Xi и х2, то опять получим комбинаторно правильное замощение плоскости квадратами и можем найти Я, как и раньше.
Если /г=0, то, как показывает проверка, условие р (G)=O выполняется лишь в случаях (4) — (7). Для каждого из них рассмот-
200 Гл. III. Геометрические методы
Для (4) видоизмененная диаграмма Кэли относительно инволюции X1 комбинаторно дает правильное замощение евклидовой плоскости шестиугольниками, которое опять позволит нам найти два независимых отображения. В видоизмененной диаграмме Кэли для (5) все вершины имеют кратность 3, в то время как грани имеются двух сортов: треугольники с граничными метками х\ и 12-угольни-ки, граничные ребра которых поочередно помечены буквами X1 и х2. Образуем новый граф С", на котором действует группа G, с помощью изменения схемы Кэли, стягивая каждую треугольную грань в точку. Тогда С есть правильное замощение плоскости шестиугольниками. Теперь легко найти пару элементов, доставляющих независимые отображения на С, и породить свободную абелеву подгруппу ранга 2 в G.
Случай (6) рассматривается совершенно аналогично. В видоизмененной диаграмме Кэли С мы стянем каждую прямоугольную грань с меткой х\ в точку. Полученный граф С" снова является правильным замощением плоскости квадратами. Стягивая в обычной диаграмме Кэли для случая (7) каждую грань с меткой х\ в точку, приходим к правильному замощению плоскости треугольниками. ?
Отметим, что методы, подобные примененным выше, могут быть использованы для доказательства в простых случаях бесконечности некоторых F-групп, например группы G=(x2, х\, х3, X1X2X3) при л>6 (см. Линдон [1974]).
Мы замечаем также, что из 7.10 следует, что в любой фуксовой группе (F-группе с p(G)>0) все централизаторы циклические.
