Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Два ребра границы клетки A(D, g), исходящие из вершины V= =DV, дуальной грани D, являются отрезками смежных ребер комплекса К, выходящих из v. Пусть a (D, g) — угол от одного ребра до другого, измеряемый так, чтобы A(D, g) локально находилась в заключенном между ними секторе. Тогда по определению угловой меры сумма всех a (D1 g) для фиксированной грани D и всех g на ее границе должна быть равной 2я. Заметим также, что (опять же по определению) вклад в вершине v в кривизну пути <9Д (g) составляет я—a(D, g), откуда n(dA(g)) есть сумма чисел я—a(D, g) по всем D, инцидентным с g.
Вычислим х(Д(1)). Существует одна грань D с вершиной 1 для каждого сопряженного с элементом г из R. Рассмотрим фиксированный элемент r=smis) в R и грань D с начинающейся в 1 граничной меткой г. Различные сопряженные г' с г имеют вид r'=u~lru, где и пробегает собственные начальные отрезки слова s. Соответствующие A(D', 1) конгруэнтны тогда при действии группы G подкомплексам A(D, и) из D. Совокупность всех A(D, g) находится во взаимно однозначном соответствии с собственными начальными отрезками g=s'u, где 0<i<Cm(s), а и те же, что и выше. Суммированием в указанных границах получим
?«(D', l) = ?a(D, «) = ^?«(D, *) = ^.
Поскольку существует \s\ граней D', граничные метки которых с началом в 1 сопряжены с г, то
¦ 1)] = я|5|-^.
Чтобы вычислить х(дА(1)), мы должны просуммировать я —a(D, 1) по всем граням с вершиной 1, т. е. просуммировать полученные формулы по всем г QR или, что то же самое, по всем sQS. Имеем
х(<ЭД(1)) = л?|5|-2я?-^.
s є 5 seS
Теперь, поскольку S строго квадратично на X, 2ls| = 2|X| и
seS
*(оД0)) = 2я(;|Х|-?-^. ?
7. Фуксоеы комплексы
197
Величина Li= I X |— 2 (I/m(s))—1 является, очевидно, инва-
SSS
риантом /^-группы G = (X; /?) относительно преобразований, примененных к этому представлению, и известна под названием меры Li(G) группы G. В терминах этой меры установим формулу Ри-мана и Гурвица.
Предложение 7.9. Если G есть F-группа, a G' — подгруппа в G конечного индекса /, то G' является F-группой и
,.....
1 4(G)'
? Из 7.4 нам известно, что G' есть F-rpynna, а также что если К — фуксов комплекс для G, то G' имеет фуксов комплекс К', каждая грань А' которого является объединением (в смысле 7.3) / граней А из К- По предложению 7.6 любая инвариантная угловая мера а на К индуцирует меру на К', и ассоциированная мера площадей удовлетворяет равенству А (А')=/Л (А). Сокращением множителей 2л получим требуемую формулу. ?
Впервые формула Римана — Гурвица была установлена для дискретных (фуксовых) групп с компактной фундаментальной областью, где p(G) являлась гиперболической мерой любой фундаментальной области. Однако формула сохраняется и в случае, когда обе группы являются свободными произведениями конечного числа циклических групп (при условии, что случай р=0 циклической или бесконечной диэдральной группы истолкован должным образом), несмотря на то, что в этой ситуации р, не допускает обычной метрической интерпретации. Этот факт был отмечен Зингерманом [1970] 1K Если G — свободное произведение циклических групп порядков ти ... , тр, то Li(G)=S(I—1/т;)—1. В случае когда G есть свободное произведение конечного числа конечных циклических групп G;, а Я — декартова подгруппа, т. е. ядро естественного отображения группы G на прямое произведение групп Gj1 формула Римана — Гурвица была установлена Нильсеном [1948] (см. также Линдон [1973]). Линдон [1973] заметил, что аргументы Нильсена достаточны, если Gj :— произвольные конечные группы порядков ті, и высказал предположение, что формула применима к любой подгруппе Я конечного индекса в G. Справедливость этого предположения была, по-видимому, давно известна Ф. Холлу; см. также Леви [1940], Кун [1952], Стиб [1970]. Используя методы Серра [1969], Чизуэлл [1973] вывел для индекса формулу, включающую это предложение, формулу Римана — Гурвица и, вероятно, другие результаты.
Для знакомства с другими обобщениями функции меры и смежными вопросами см. Браун (в печати), Чизуэлл [1973, 1976], Серр
*> Доказательство см. в работе Маклахлана [1971*].— Прим. ред.
198 Гл. III. Геометрические методы
[1968/1969, 1971], Вердье [1973], Уолл [1961]. Родственную формулу Кнезера см. в книге Цишанга, Фогта и Колдьюи [1970, стр. 50]. (См. обсуждение в разд. 11.2.)
Формула Римана — Гурвица налагает ограничения на типы подгрупп конечного индекса в фуксовой группе G. Имеются также очевидные ограничения на возможные порядки периодических элементов в любой подгруппе H группы G. Однако вопрос, подгруппы H каких типов действительно встречаются в G и сколько появляется классов сопряженности для каждого типа, представляется трудным. Он исследовался Гринбергом [1963], Миллингтоном [1969], Зингер-маном [1970, 1972] и Хором [1976]; классическую задачу, где G — модулярная группа, осветил Ранкин [1969] х). Вопрос о нормальных подгруппах в G и соответствующих факторгруппах, особенно конечных факторгруппах, привлек большое внимание; см. Зингерман [1972]. Для модулярной группы G=(а2, Ь3) это есть уже упоминавшийся вопрос о том, какие группы порождаются элементом а порядка 2 и элементом b порядка 3. Группа G=(a2, b3,(aby), т. е. G=(2, 3, 7), как было замечено еще Гурвицем [1891], является фуксовой группой с наименьшим (положительным) значением p(G)=l/42. Мы отмечали результат Хигмана о том, что почти все знакопеременные группы являются факторгруппами этой группы; ее конечные факторгруппы рассматривались далее Макбетом [1961]; см. также Лич [1965].
