Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 83

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 202 >> Следующая

Этим закончено индуктивное доказательство того, что инвариантный комбинаторный круг содержит ровно одну инвариантную грань. Отсюда следует, что нетривиальный автоморфизм а может оставлять на месте не более одной грани, ибо при наличии двух инвариантных граней автоморфизм а имел бы, как и выше, конечный порядок и обе эти грани включались бы в некоторый инвариантный комбинаторный круг. ?
Предложение 6.2. Пусть группа G=(X; R) имеет планарный комплекс Кэли C=C(X; R), a S — множество корней из R = {smis); sQ S}. Тогда каждый'нетривиальный элемент конечного порядка в G есть образ слова usbu~1, где s— однозначно определенный элемент из S, показатель Ь единствен, если 0<ib<m(s), а слово и единственно с точностью до замены на и'=us'.
? Допустим, что элемент g из G имеет конечный порядок п>1. Если D — некоторая грань, то конечное объединение E граней
•¦¦¦!!вштшш&штш:-
186
Гл. III. Геометрические методы
g'D инвариантно и по предыдущему утверждению g оставляет на месте единственную грань D0. Пусть D0 имеет граничную метку г Z R с началом в некоторой вершине и на границе dD0. Так как g оставляет на месте D0, то gu лежит на OD0 и D0 обладает гранично" меткой г с началом в gu. Если t — метка дуги на dD0, идущей и и в gu, то r=t", а так как r=sm{s) для некоторого s?S, то t=s для некоторого b, 0<bOn(s), и nb=m(s). Теперь, согласно опре делению слова /, gu=ut. Значит, g есть образ слова utu~r=usbu-x. Единственность слова s следует из единственности грани D0, а единственность числа b — из выбора метки t.
Кроме того, выбор слова и однозначен с точностью до замены на us'. ?
Из сказанного выше следует, что образы слов s в G имеют порядки, равные m(s), что циклические группы G5, порожденные образами таких s, для которых m(s)>l, представляют собой множество представителей классов сопряженности максимальных нетривиальных конечных циклических подгрупп в G и что эти подгруппы G5 самонормализуемы. Отсюда следует, в частности, что если все m(s) равны 1 (например, если G есть свободная группа или фундаментальная группа замкнутого двумерного многообразия, отличного от проективной плоскости), то G — группа без кручения.
Представления, описанные в 5.3, являются каноническими в том смысле, что если отбросить конечные циклические группы и считать 2^/71^.. Xnip, то группы с разными представлениями такого вида не изоморфны. Приведем ниже лишь схему доказательства. Сначала заметим, что при п=0 и р^.2 или п=\ (откуда q=yl) и комплекс С является конечным циклическим. Из последующих результатов ясно, что лишь в этих случаях группа G является конечной циклической. Эти случаи исключим из дальнейших рассмотрений.
Мера группы G по определению (см. 7.8 ниже) равна (*(G) =
==n—2+^](I—(1/mj))- Можно проверить, что при [i(G)<0 имеем
п=0 и р=3. Далее получаем, что или (ти т2, т3)=(2, 2, п) для некоторого п, а значит, G — диэдральная группа порядка 2п, или (ти т2, та)=(2, 3, п) для л=3, 4, 5, т. е. G — одна из трех групп вращений правильных геометрических тел. Все эти группы конечны и не изоморфны.
Из общей теории следует, что при ц (G)^=O группа G бесконечна, однако мы приведем следующее прямое доказательство. Если л== 1, т. е. q=yl, то (исключая всегда циклические случаи) G получается добавлением квадратного корня из элемента к свободному произведению циклических групп, а значит, бесконечна. В других случаях при пфО можно заметить, что факторгруппа G/IG, G]
6. F-группы. Продолжение 187
бесконечна. Если /г=0, то достаточно перейти к гомоморфному образу и рассмотреть случай /7=3, а при р=4 — те ситуации, когда (/Пі, т2, т3, /л4) есть (2, 2, 2, п) или (2, 2, 3, «) для некоторого rCs?2. При р=3 выберем более экономное представление G=(xa, уъ, (ху)с) и соответствующий комплекс Кэли С. Мы получим из С новый комплекс С*, стягивая каждую клетку с граничной меткой у в точку. Тогда из каждой вершины комплекса С* выходит 26 ребер, разделяющих чередующиеся а-угольники и с-угольники. Если предположить, что С, а следовательно и С*, конечен и потому сферичен, то вычисление характеристики дает (1/а)+(1/о)+(1/с)>1. Значит, G есть одна из перечисленных выше групп с p(G)<0. В случае (2, 2, 2, и) выберем представление G=(x2, г/2, г2, (xyz)n) с комплексом Кэли С. Образуем С*, склеивая двухугольники с граничными метками Xі, у2 или z2 в одно ребро. В таком случае С* состоит из 3/г-угольников, встречающихся по 3 в каждой вершине, чего не может быть для конечного комплекса на сфере. Для (2, 2, 3, и), G=(x2, у2, zs, (xyz)n) мы склеим каждый двухугольник с граничной меткой X2 или у2 в ребро, а каждую клетку с граничной меткой z3 стянем в точку. Полученный так комплекс С* состоит из 2я-уголь-ников, сходящихся по 6 в каждой вершине, что опять-таки невозможно для конечного комплекса на сфере.
Доказывая, что все эти группы не изоморфны, достаточно рассматривать бесконечные группы, для которых, согласно 6.2, последовательность т^.. Knip является инвариантом. Если пфО, то пусть T — подгруппа, порожденная всеми элементами конечного порядка, G*=G/T, a G**=G*/[G*, G*]. Очевидно, что G*=(q) и G**— свободная абелева группа ранга п в случае q=[yi, у2\ ... • ¦. [yn-lt уп], а в случае q=y\ ... у\ группа G** есть прямое произведение группы порядка 2 и свободной абелевой группы ранга л—1.
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed