Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим также, что ни одна из таких групп не является свободным произведением циклических групп. Это следует из 11.5.14, но мы приведем здесь прямое доказательство. Если G является свободным произведением циклических групп, среди которых г экземпляров бесконечны, то группа G*=G/T, определенная выше, имеет ранг г, а это показывает, что при О>0 группа G не изоморфна группам типа 5.3. При п=0 из 3.6 выводим, что mt суть порядки Циклических множителей, a G может быть изоморфна фуксовой группе Я, только если G есть свободное произведение конечного числа конечных циклических групп порядков пц, т2, тр, в то время как Я — фуксова группа с теми же т( и п=0. Но тогда HI[H, H] получается из конечной абелевой группы GI[G, G] добавлением нетривиального соотношения, поэтому HI[H, H] и GI[G, G] не изоморфны, а значит, группа G не изоморфна группе Я.
188
Гл. III. Геометрические методы
7. Фуксовы комплексы
Существует классический метод (см. Пуанкаре [1882], Макбет [1963], Бенсон и Гроув [1971]) извлечения представления дискретной группы из замощения пространства, на котором она действует, образами подходящей фундаментальной области. Для рассматриваемых здесь групп он, грубо говоря, состоит в том, что необходимо доказать дуальность (в смысле, объясняемом ниже) такого замощения комплексу Кэли этого представления. Поскольку мы хотим использовать указанную связь, не вникая в аналитические рассмотрения, приведем чисто комбинаторное определение замощения фундаментальными областями, которое назовем фуксовым комплексом.
В основном приводимые ниже рассуждения с минимальными изменениями распространяются на все планарные группы. Однако, преимущественно имея дело с фуксовыми группами, мы оставляем, таким образом, зачастую в стороне конечные планарные группы и несколько меньше уделяем внимания тем группам, которые разлагаются в свободные произведения циклических.
Тогда все комплексы, которые у нас встретятся, мы можем считать вложенными в плоскость. Из технических соображений удобнее впредь считать гранями все компоненты дополнения одномерного остова, в том числе и те, которые неограниченны. При таком соглашении все рассматриваемые комплексы гомеоморфны плоскости. Известно, что упомянутые замощения для фуксовых групп могут быть выбраны без всяких патологий (даже многоугольниками). Этим же свойством обладают приведенные выше построения для планарных комплексов Кэли. Поэтому в ходе нашего обсуждения все комплексы подразумеваются многоугольными, в частности каждое ребро гомеоморфно отрезку (конечному или бесконечному) действительной оси, каждая грань гомеоморфна замкнутому кругу или замкнутой полуплоскости, а множество вершин не содержит предельных точек. Мы предполагаем также, что пересечение двух граней или пусто, или состоит из одной вершины, или же из одной простой дуги (конечной или бесконечной). Такие комплексы назовем планарными. Бесконечная планарная группа G обладает представлением с комплексом Кэли С, планарным в установленном смысле, причем G действует (слева) как группа автоморфизмов указанного комплекса С. В частности, мы видели, что G регулярна на множестве вершин из С. і
Под фуксовым комплексом группы G мы понимаем пленарный] комплекс, на котором G действует (слева) как группа автоморфиз-і мов, регулярная на гранях, т. е. G транзитивна на множестве граней и никакой нетривиальный элемент не оставляет на месте никакую грань. Из технических соображений нам удобно считать пересечение двух граней, если оно непусто, одной вершиной или одним ребром, за одним исключением. Именно, если некоторый
7. Фуксовы комплексы
189
элемент g из G (обязательно инволюция) переставляет две грани D и D', пересекающиеся по дуге р, и переставляет при этом концы дуги р, то мы требуем, чтобы эта дуга состояла из двух геометрических ребер, переставляемых с помощью g.
Два пленарных комплекса KuL называются дуальными, если существует взаимно однозначное соответствие между их клетками, при котором грани одного комплекса сопоставляется вершина другого, внутренняя для этой грани, а ребру одного комплекса соответствует ребро другого, пересекающее данное ровно один раз и не пересекающее никаких других ребер.
Для рассматриваемых групп с некоторой натяжкой верно, что каждый фуксов комплекс определяет дуальный комплекс Кэли и обратно. Это в самом деле так, если на фуксовы комплексы наложить дополнительное условие, что они не должны допускать отражений, т. е. никакое ребро не остается на месте при действии нетривиального элемента из G. Это же верно, если допустить отражения в фуксовых комплексах, но изменить определение комплекса Кэли тем безобидным на вид способом, который в действительности был предложен уже самим Кэли [1878]. Определим сначала видоизмененное представление. Пусть Fi — свободная группа с базисом X, а F2—свободное произведение групп второго порядка {1, х), где X пробегает множество J. Пусть, далее, F —свободное произведение F1 и F2, R — подмножество в F, a N — его нормальное замыкание в F. Если G=FJN, то скажем, что тройка (X, J, R) есть видоизмененное представление для G. Видоизмененный комплекс Кэли такого представления определяется точно так же, как и обычный комплекс Кэли, с одним исключением: для вершины V и элемента X из J существует только одно ребро, исходящее из V, с меткой х(=х~1), а следовательно, не существует граней с граничной меткой х2 для X 6 J. Заметим, что к этой категории можно отнести и обычные комплексы Кэли, полагая J = 0.
