Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Действие группы G на С естественным образом продолжается до действия на С*. Для h из G имеет место равенство hf(D, g)=f(hD, hg), а значит, hS(g)=S(hg). Следовательно, при индуцированном Действии К является фуксовым комплексом для G.
Каждое геометрическое ребро е* комплекса К разделяет пару граней S(g) и S(gx) для некоторого х из L=XU X~lU J и пересекает ребро е комплекса С между g и gx. Если нетривиальный эле-
192
Ґл. ///. Геометрические методы
мент /г из G оставляет на месте е*, то он должен осуществлять перестановку на множестве {g\ gx), а так как элемент h не может оставлять на месте g пли gx, он должен переставлять их, а значит, переворачивать направленное ребро е. Но тогда е и е-1 должны иметь одинаковую метку, откуда получим, что х=х~г в F и х лежит в J. Поскольку hg=gx, то h=gxg~l. Обратно, если элемент h имеет такой вид, то он оставляет на месте е*. Таким образом, К — комплекс без отражений тогда и только тогда, когда J = 0. ?
Доказательство следующей теоремы близко к рассуждениям подобного типа у Дика [1882, 1883] (см. также книгу Бернсайда [1955, гл. 18]).
Предложение 7.3. Если К — фуксов комплекс для группы G, a H — подгруппа в G, то H обладает фуксовым комплексом L, каждая грань которого есть объединение граней из К-
? По лемме Цорна существует подкомплекс E в К, который является объединением граней из К и максимален относительно следующих свойств:
(1) E 2-связен: каждая пара граней в E может быть соединена 2-цепью в Е, т. е. цепью, соседние члены которой имеют общее ребро;
(2) E не содержит пар конгруэнтных граней D и hD, hQH. Мы покажем, что
(3) каждая грань в К конгруэнтна некоторой грани из Е.
Предположим, что (3) неверно, т. е. что некоторая грань комплекса К не конгруэнтна никакой грани в Е. Очевидно, комплекс К 2-связен, значит, существует 2-цепь D0, D1, ... , Dn=D от некоторой грани D0 из E к D. Допустим, что грань D и цепь выбраны так, что п минимально. Если бы оказалось, что п>\, то из минимальности п следовало бы, что Dn _i конгруэнтна некоторой грани HDn-I из Е. Это давало бы цепь HDn^1, hD меньшей длины с теми же свойствами. Мы заключаем, что п=\, а значит, E'=E\]D удовлетворяет условиям (1) и (2) вопреки максимальности подкомплекса Е.
Докажем, что
(4) подкомплекс E односвязен.
Допустим, это неверно, что означает наличие ограниченной компоненты U у дополнения к E в К- В U содержится некоторая грань D, и из (3) выводим, что D=HD' для некоторой грани D' из E и /iGН, /1=5=1. По свойству (1) подкомплекс Е, а вместе с ними hE, 2-связен. Далее НЕ и E не пересекаются по условию (2). Грань HD'^hE лежит в U, значит, HEsU. Пусть V=Ei)U- Тогда подкомплекс V 2-связен, и он ограничен внешней границей ? подкомплекса Е. Из сказанного и включения /i?st/ делаем вывод, что hV*=UcV. С помощью повторений получим Vz>hV=>h2V=>...
7. Фуксовы комплексы
193
вопреки локальной конечности комплекса К- Теперь можно взять в качестве L планарный комплекс, гранями которого являются образы hE подкомплекса E для всех h?H. Заметим, что, если подкомплекс E конечен, то его границей служит простая замкнутая кривая, a E — комбинаторный круг. Если же подкомплекс E бесконечен, то его граница состоит из бесконечных в обе стороны простых кривых. При этом L есть комплекс в расширенном смысле, допускающий неограниченные клетки. ?
Наше изложение следующей классической теоремы похоже на доказательство Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972], хотя они и не использовали геометрию.
Предложение 7.4. Если G есть F-гриппа, то каждая ее подгруппа H конечного индекса опять-таки является F-группой, в то время как любая подгруппа H бесконечного индекса есть свободное произведение циклических групп.
? Мы не будем рассматривать конечные /-"-группы, так как они являются в точности конечными группами изометрий сферы. Бесконечные же ^-группы, как мы видели в доказательстве предложения 5.5, обладают комплексом Кэли, (конечные) грани которого заполняют плоскость. Мы знаем (5.2), что, обратно, группа с таким комплексом Кэли имеет представление с конечным и строго квадратичным множеством корней S и связным звездным графом, а поэтому является /^-группой. Мы отмечали, что если планарный комплекс локально конечен и все его грани конечны, то то же самое верно и для дуального комплекса, так как вершина дуального комплекса принадлежит грани, а грань дуального — звезде вершины первоначального комплекса.
Таким образом, группа G имеет комплекс Кэли, все грани которого конечны. Следовательно, у дуального фуксова комплекса К все грани также конечны. Если H имеет конечный индекс / в G, то H обладает фуксовым комплексом L, в котором каждая грань является объединением / граней из К, а значит, конечна. Но тогда у H есть дуальный комплекс Кэли с конечными гранями, откуда следует, что H есть F-rpynna. Если же подгруппа H имеет бесконечный индекс, то у нее есть фуксов комплекс L, каждая грань которого является объединением бесконечного числа граней из К, а значит, бесконечна. Тогда подгруппа H обладает представлением H= ~(Х; R), таким, что комплекс C(X; R) дуален kL, а потому плана-рен, но у него не все грани конечны. В таком случае группа H пленарна и имеет не строго квадратичное представление. Следовательно, она должна разлагаться в свободное произведение циклических групп. ?
