Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 2.15. Если-группа F свободна, то для любого ю? F, юф\, имеем \w\ < |&у2| <. . . .
? Запишем W=U-1W1U, причем W1 циклически приведено. Тогда имеет место приведенное равенство W=U-1W1O, откуда |до"|=2|а| +
+ZIlOl1I. ?
Предложение 2.16. Свободная группа не имеет кручения: если wn=l при ПфО, TO W=I. ?
Предложение 2.17. Если а, Ь — элементы свободной группы F, такие, что ат и Ь" коммутируют, am, п Ф 0, то а и Ь — степени некоторого общего элемента с.
? По предложению 2.7 G=Gp {а, Ь) — свободная группа ранга не более 2, причем ранг равен 2, только если (а, Ь) — базис. Ясно, что последний случай исключается. Таким образом, G циклична. ?
Предложение 2.18. В свободной группе F отношение т и b коммутируют» (а<-*Ь) является отношением эквивалентности на множестве неединичных элементов.
? Нужно доказать, что из а Ь и Ь <-> с следует а с для любых а, Ь, сф 1. По предложению 2.17 имеем а=ир, Ь=иі для некоторого и и некоторых целых чисел р, q Ф О, а также b=V, c=v* для некоторого и и некоторых целых чисел г, зф 0. Снова используя 2.17, мы видим, что из Ui=V следует, что и и V — степени некоторого общего элемента г. Поэтому а и с коммутируют как степени некоторого общего элемента г. ?
24
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Предложение 2.19. Если да — нетривиальный элемент свободной группы F1 то нормализатор NF (Gp {да}) группы Gp {да} в F цикли-чен.
? Если и нормализует Gp{да}, то и~ 1WU=W^1. Заметим теперь, что да не сопряжен с да-1. Чтобы убедиться в этом, можно предположить, что слово да циклически приведено; тогда из сопряженности да и да-1 следовало бы, что да-1 — циклическая перестановка слова да, скажем, что w=pq и w~1=qp. В то же время w~1 = (pq)~1=q~1p~1, и из приведенного равенства qp=q~1p~l следует, что ^=*?-1, р=р~х, а это по предложению 2.16 дает q=p = \ в противоречие с да Ф 1. Таким образом, нормализатор группы Gp{iw} является и ее централизатором, а этот последний по предложению 2.17 абелев. В то же время абелева свободная группа циклична. ?
Есть целый ряд других групп, в которых централизаторы цик-личны. В проективных линейных группах PSL (2, R) и PSL (2,C) все абелевы подгруппы — либо циклические, либо четверные группы; таким образом, в любой подгруппе, не содержащей четверных групп, централизаторы всех неединичных элементов цикличны. В 1975 г. Адян показал, что этим же свойством обладают и свободные бернсайдовские группы для больших нечетных показателей. Подобные результаты для групп с малым сокращением были получены Гриндлингером [1962], Липшуцом [1972], Камерфордом [1974] и Трюффо [1974].
Предложение 2.20. Для любых двух элементов свободной группы можно эффективно выяснить, являются ли они степенями одного и того же элемента и коммутируют они или нет. ?
Предположим, что G — группа и Я — ее конечно порожденная подгруппа. Проблема вхождения для элементов изо в H состоит в вопросе о существовании алгоритма, позволяющего выяснить, какие из элементов группы G лежат в Я. Преобразования Нильсена решают проблему вхождения в конечно порожденные подгруппы свободных групп.
Предложение 2.21. Для данного конечного подмножества U конечно порожденной свободной группы F существует алгоритм, позволяющий по элементам группы F выяснять, лежат они в Gp (U) или нет.
? Упорядоченность < на F является эффективной. В процессе нильсеновского приведения множества U мы последовательно переходим от U к У через последовательность множеств U1, . .. .. ., Um=V, где каждое U1+1 получается из U1 одним элементарным нильсеновским преобразованием, U1 + 1KUi для любого i<m и ни одно элементарное нильсеновское преобразование, примененное к V,
2. Метод Нильсена
25
не дает множества W, такого, чтобы Ц7<1Л Доказательство предложения 2.2 показывает, что множество V является yV-приведенным. Поскольку имеется лишь конечное число элементарных нильсенов-ских преобразований, V эффективно находится по U. Согласно предложению 2.13, элемент w лежит в Gp (V) тогда и только тогда, когда w=Vi.. .Vn для некоторых Vt G Vі1 и п ^|до|. Выписывая все такие произведения, можно эффективно решить, равен w одному из них или нет. ?
Следующее предложение доказано Молдаванским [1969]:
Предложение 2.22. Пусть F — свободная группа. Существует алгоритм, который по двум данным конечным подмножествам UuV группы F определяет, сопряжена ли подгруппа G=Gp(U) с некоторой подгруппой группы H=Gp(V) и сопряжена G с самой подгруппой H или нет.
? Обозначим через т максимум длин элементов из U и V. Сформулируем сначала такое утверждение:
(*) Если W-1Gw=H для некоторого w ? F, то W-1Gw сопряжена в H с Wa-1Gw0, где W0 — некоторый элемент из F для которого ItSJ0] ^ т.
Сначала покажем, как наше предложение следует из (*), а затем докажем и (*). Итак, пусть (*) имеет место. Легко видеть, что группу F можно предполагать конечно порожденной. Тогда число элементов w(zF с |И^т конечно. Для каждого такого w и каждого u?U можно решить, верно ли включение W-1Uw^H. После этого делается вывод, верно ли, что W1Uw=H, и верно ли, следовательно, что W-1Gw=H. Проделаем все это для любых w, для которых \w\^ ^.т. Согласно (*), это выясняет вопрос, лежит ли некоторая сопряженная с G подгруппа в Н. Снова согласно (*), G сопряжена с H в точности в случае, когда W-1Gw=H при некотором w длины |ш|^т. Мы уже видели, как найти все w с |ш|^т, для которых W-1Gw=H. Для каждого такого w мы теперь можем решить, верно ли, что V=W-1Gw, и, следовательно, верно ли, что W-1Gw=H.
