Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Изложим пример Карраса и Солитэра [19691 группы, необладаю-щей свойством Хаусона.
Предложение 3.14. В группе G=(x, у; ху2х~1=у*) нормальные замыкания HuK элементов х и z=xy являются свободными нормальными подгруппами ранга 2, в то время как H П K=[G, G] — свободная нормальная подгруппа бесконечного ранга.
? Рассмотрим G=(x, у; хугх~1=уг). Заменяя ху на z с помощью преобразований Титце, получим для G представление G= (г, у; zy2z~1=y'i), так что G обладает автоморфизмом а, переводящим х в г и оставляющим на месте у. Пусть Я — нормальное замыкание для x в G и K=Ha — нормальное замыкание для z. Обозначим через к каноническое отображение из G на G0=G/[G, G], свободную абелеву группу, порожденную образами х0 и у0 элементов х и у. Тогда Hk= (х0 ) и Kk= Oc0W0 >. Если g ? G и gy,=xa0yb0, то g ? Я тогда и только тогда, когда Ь=0, и g?Kтогда и только тогда, когда а=Ь, так что g? Hf) К тогда и только тогда, когда а=Ь=0, т. е. ЯП K= =[G, G].
Подгруппа Z = <y2> является центром группы G, причем Hf)Z = X. Таким образом, Я ^Я, образ группы Я в G=GjZ =
3. Подгруппы свободных групп
37
= (х, у; у2 = 1) = <х> * <у>, является свободным произведением бесконечной циклической группы <х> и группы <у> порядка 2. Поскольку Я, нормальное замыкание элемента х в G1 не содержит у, она тривиально пересекается с любой подгруппой, сопряженной с <у> и, значит, по теореме Куроша о подгруппах является свободной группой. Далее, элемент g?G лежит в Я тогда и только тогда, когда он имеет четное число множителей у, т. е. если g имеет вид g = Yl{xa'yxbiy) хс. Пусть и = уху; тогда S= II (ха'иь')хс. Поэтому хии порождают Я, более того, из хифих следует, что они образуют базис для Я. Поэтому элементы X и и=у~хху группы Я, отображающиеся на х и и, образуют базис для Я. Итак, Я и K = Яа — свободные группы ранга 2.
Таким образом, H имеет в качестве базиса элементы х и u = x-1u = [x, у]. Далее, Н/{НГ\К), где ЯПК = [G, G],— бесконечная циклическая группа, порождающим которой является образ элемента х. Поэтому Я П К — нормальное замыкание базисного элемента и группы Я в этой группе. В этом случае Hf)K имеет /V-приведенный базис (по отношению к х, v), состоящий из всех элементов x~'vx', i?Z, т.е. имеет бесконечный ранг. ?
Следующее предложение является теоремой Гринберга [I960]; см. также работу Карраса и Солитэра [1969].
Предложение 3.15. Если конечно порожденная подгруппа H свободной группы не содержится ни в какой подгруппе бесконечного ранга, то H имеет конечный индекс в F.
? Можно предполагать, что F — свободная группа ранга больше 1. По предложению 3.10 некоторая подгруппа H'=H*U имеет конечный индекс. Если U=I, то все в порядке. Предположим, что 6/V= 1. Тогда U бесконечна и имеет тривиальное пересечение с ядром N естественной ретракции из H'=H*U на U. Отсюда следует, что N имеет бесконечный индекс в Я', а значит, и в f. По предложению 3.12 подгруппа N имеет бесконечный ранг. Поскольку H=N, получаем противоречие. ?
Следующее предложение (Каррас и Солитэр [1969]) содержит утверждение, обратное к предыдущему.
Предложение 3.16. Если H — конечно порожденная подгруппа свободной группы F, ранг которой больше чем 1, и H имеет конечный индекс в F, то она не может строго содержаться ни в какой подгруппе этой группы такого же ранга, как и у нее.
38
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
? Предположим, что ранг F больше 1. Пусть Hs^G^F. Из конечности индекса |f : Я| следует, что \F : Gl и |G : Я| — конечные числа. По предложению 3.9
¦\р:С\-11*1Р)-1 >1' откуда rank (G) >1. Снова применяя 3.9, получим
I G:Н I = rank'(G)-I1 > 1 • 0ТКУДа rank (°) < гапк
причем равенство имеет место, лишь когда IG : Я| = 1, т. е. когда G=H. ?
Следующие два предложения заимствованы из работы Карраса и Солитэра [1969].
Предложение 3.17. Если H — конечно порожденная подгруппа свободной группы F1 имеющая нетривиальное пересечение с каждой нетривиальной нормальной подгруппой группы F, то H имеет конечный индекс в F.
? Можно предполагать, что ранг группы F больше 1. По предложению 3.10 некоторая подгруппа H' = H*U имеет конечный индекс, так что если LZ=I1 то все доказано. Пусть U Ф 1 и обозначим через N ядро естественной ретракции из H' = H * U на Н; тогда N <] Я' я H(] N = I. Из того, что H' содержится в нормализаторе Nf(N) группы NbFhH' имеет конечный индекс, вытекает, что подгруппа Nf(N) также имеет конечный индекс и поэтому N обладает лишь конечным числом сопряженных в F. Следовательно, пересечение M этих сопряженных имеет конечный индекс в F, так что M Ф 1. Таким образом, 1 фМ <|F, в то время как MeJV1 ииз#ЛМ=1 следует HГ)M = 1 в противоречие с предположениями относительно Н. ?
Б. Баумслаг [1966] показал, что если G — собственное свободное произведение и Я — конечно порожденная подгруппа в G, содержащая нетривиальную нормальную подгруппу этой группы, то Я имеет конечный индекс в G. См. также статьи Карраса и Солитэра [1969, 1973].
Частичным обращением доказанного служит
Предложение 3.18. Если H имеет конечный индексе свободной группе F, то она имеет нетривиальное пересечение с каждой нетривиальной подгруппой группы F.
