Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? Действительно, если Я имеет конечный индекс в какой-либо группе F, то она имеет нетривиальное пересечение с каждой бесконечной подгруппой G этой группы, ибо для некоторых различных элемен-
3. Подгруппы свободных групп
39
tob и g2 группы G должно выполняться Hg1=Hg2, откуда \ф ФgгgT1eHГ\G. ?
Предложение 3.19. Пусть H—подгруппа свободной группы F с базисом X, и предположим, что T — шрайеровская трансверсаль для Н, которая минимальна в том смысле, что для любых tQT, wQF с Ht = Hw выполняется \t\^.\w\. Определим w для произвольного wQF, полагая Hw = Hw, wQT. Тогда множество U нетривиальных элементов y(tx) = txtx~x, где tQT, xQX, является N-приведенным базисом для Н.
? В процессе доказательства предложения 3.7 было замечено, что в любом произведении O)=Y1 ... у„, п~^\, Y1QU*1, Y1-Yf+1=^l1 сохранялась средняя буква yt Q Xі1 каждого сомножителя Y,- = ЇіУіЇіУҐ- Из этого следует условие (N2). Выполнение (Nl) вытекает из того, что в произведении Yi Y2 сокращаются самое большее части txyrl и t2, и, поскольку длины | J1-1 и |/,¦«/,¦ | отличаются не более чем на 1, эти части составляют не более половины слов Yi и Y2- ?
Предложение 3.20. Пусть H — подгруппа свободной группы F с базисом X, и предположим, что группа F вполне упорядочена отношением w<.w', таким, что U3w<.w' следует \w\^.\w'\, а также wu<Cw'u, если wu, w'u — приведенные слова. Пусть T — трансверсаль, минимальная относительно w<Cw' в том смысле, что из tQT, w QF и Ht=Hw следует, что t^w. Тогда T — шрайеровская трансверсаль для Н.
? Нужно показать, что из t ^t1UQT следует txQT. Однако Ht1=Ht' для некоторого Ґ QT, и если іхФі', то должно выполняться V < Z1, т.е. и t'u<it1u==t, причем Ht1U = Ht в противоречие с предложением. ?
Если U есть /V-приведенное множество свободной группы F с базисом X и u=ab~xQ U±l, причем \a\=\b\, то а называется изолированным, если U±x не содержит никакого ьфи вида v=ac. По аксиоме (N2) в таком элементе и по крайней мере одно из слов a, b изолировано.
Следующие два предложения также взяты из статьи Карраса и Солитэра [1969].
Предложение 3.21. Пусть F — свободная группа с базисом X, и предположим, что U есть N-приведенный базис некоторой подгруппы H этой группы. Предположим, что T1 состоит из всех начальных отрезков а элементов и Q U±x, таких, что |a|^|u|/2. Далее, каждое изолированное слово содержится как часть а или b в точности в одном элементе u=ab~x QU, таком, что IaI = IbI. Для каждого
40
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
такого и выберем одну такую изолированную часть а и образуем множество T вычеркиванием всех таких а из T1. Тогда T — трансверсаль для некоторой подгруппы G группы F, содержащей H в качестве свободного множителя.
? Поскольку T замкнуто относительно взятия начальных отрезков, мы можем, как и в доказательстве предложения 3.8, определить действие л группы F на Т, такое, что для t ? T имеем 1 -л (t)=t. По предложению 3.7 множество Y элементов у (tx)=tx (t -л (х))~1ф\, где t?T, X ? X, образует базис для подгруппы G группы F с транс-версалью Т. Далее каждое и ? U может быть записано в виде и= =tiyt\-x, при ti, t2?T и у ^P1, где UiI = U2I, если |и| нечетно и UiI и U2I отличаются на 1, если IuI четно. В любом случае u=y(t1y) ^ Y±l. Таким образом, возможно, заменяя некоторое и б U на и-1, получаем UsY, так что Я — свободный множитель группы G. ?
Предложение 3.22. В прежних обозначениях предположим, что X и U — конечные множества. В этом случае T конечно и H имеет конечный индекс в F тогда и только тогда, когда (\Х\—1) • IТ\ = | U\—1.
? Конечность T следует из конечности U. Можем предполагать, что |Х|>1. Допустим теперь, что Я имеет конечный индекс /' в F. Поскольку G=H*K для некоторого К и так как |G : Я| конечен, K=I; итак, G=H, T — трансверсаль для Я и /=171. Доказываемое равенство следует теперь из 3.9. Обратно, предположим, что это равенство выполняется. Поскольку G имеет конечный индекс |71 и базис Y, имеем (|Х|—1)|T| = |F|—1. Это вместе с данным равенством влечет за собой |f/| = |K|. Поскольку Us Y и так как Y конечно, отсюда следует, что U = Y и H=G — подгруппа конечного индекса. ?
Доказанное позволяет по данному множеству U свободной группы F определить, имеет подгруппа Gp (U) конечный индекс или нет.
4. Автоморфизмы свободных групп
Ключом к изучению автоморфизмов свободной группы является следующее наблюдение. Если F — свободная группа с базисом X, то каждый автоморфизм группы F переводит X в некоторый другой базис и, наоборот, любое взаимно однозначное отображение множества X на какой-либо базис группы F определяет некоторый автоморфизм. Это положение вполне аналогично ситуации, имеющейся в линейной алгебре. Используя это наблюдение и введенный им ранее метод, Нильсен в [1924] получил конечное представление группы Aut (F) автоморфизмов конечно порожденной свободной группы F в терминах порождающих и определяющих соотношений.
4. Автоморфизмы свободных групп
41
Мы будем следовать его идеям при получении порождающих группы Aut (F), а определяющие соотношения будут найдены с помощью более современных методов.
