Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 14

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 202 >> Следующая

? Предположим, что X — базис для F. Рассмотрим некоторую шрайеровскую трансверсаль T1 для HbF. Если до Є F, то до будет обозначать представитель для до в T1, определенный условием Hw= ~Hw, w?Ti. Согласно 3.7, базисом подгруппы H является множество K1, состоящее из всех нетривиальных у (tx)=txtx~1, где t?Ti, x ? X. Обозначим через T2 объединение множества элементов Ti и tx € Ti, таких, что у (tx) € K11 вместе с множеством элементов а при любом а? А. Тогда T2=Ti. Пусть теперь T состоит из всех начальных отрезков элементов из T2; поскольку T2=Tx и Tx — шрайеров-ская система, T=Ti. Так как группа H конечно порождена, множество Ki конечно; поскольку конечно и Л, то T2 конечно. В результате конечно и Т.
Для любого данного х Є X пусть Tx — множество элементов / G Т, таких, что tx ? Т. Определим р(х): Tx —<• T равенством t-p(x) = tx. Тогда р (х) взаимно однозначно, так как tx-p(х) — t2-p(х) влечет за собой txx = t2x, Htxx = Htгх, Ht1=Ht1, а значит, поскольку Z1, г2 6 T1, t1 = t.i. Это позволяет продолжить р(х) до перестановки л (х) на множестве Т; получаем, таким образом, действие я группы F на Т. Если t?T, х6 X и tx?T, то tx?Tx, tx = tx и t-n(x) = tx. Переставляя / и tx, увидим, что из / ? Т, x € X и tx~l € T следует t • я (х-1) = tx'1. Если / — ... ••• Уп> Уі€^±1» то с помощью индукции убеждаемся, что 1 • л (t) = 1 ¦ я («Z1) ... я (yn) = Iy1 ... yn = t. Таким образом, T и я удовлетворяют предположениям предложения 3.7.
Пусть GhK связаны с T и л так же, как и в 3.7. Поскольку Т —трансверсаль для GnT конечна, группа G имеет конечный индекс. Предположим, что у = у ^х)Ф \ принадлежит базису K1 для Н; тогда, согласно определению множества T1 имеют место
5. Подгруппы свободных групп
35
включения t, tx?T и t-n(x) = tx по определению л. Следовательно, у = іх(ї-п(х))~1Ф\ принадлежит базису Y группы G. Однако из включения Y1 = Y следует, что Я— свободный множитель для G. Окончательно, чтобы убедиться в пустоте пересечения группы GcA, предположим, что a (E Л. Поскольку НГ]А = 0, аф\ и aQT, аф\, получаем, что a(?G. Так как Ha = Ha, aa~l ?ЯеС, то из a^G вытекает a(?G. ?
Следующее предложение принадлежит Гринбергу [1960].
Предложение 3.11. Если конечно порожденная подгруппа H свободной группы F содержит нетривиальную нормальную подгруппу этой группы, то она имеет конечный индекс в F.
? Пусть N = H, где \ф N <] F. По предложению 3.10 некоторая подгруппа G = Я*К имеет конечный индекс в F. Предположим, что H имеет бесконечный индекс; тогда НфС откуда Кф]. Запишем базис X для G в виде X = X1UX2, причем H = Gp[X1), K=Gp(X2). Пусть \фuQN = H, \ф!г?К. Поскольку N — нормальная подгруппа, k~1uk^N = H. Однако понятно, что k~1uk не является словом от образующих X1 группы Н. Таким образом, H не может иметь бесконечный индекс. ?
Следующий факт непосредственно вытекает из доказанного.
Предложение 3.12. Каждая нетривиальная конечно порожденная нормальная подгруппа конечной группы имеет конечный индекс. ?
Приведем доказательство Бернса теоремы Хаусона [1954]; см. также работу Карраса и Солитэра [1969].
Предложение 3.13. Пересечение двух конечно порожденных подгрупп свободной группы является конечно порожденной подгруппой.
? Пусть H и К~ конечно порожденные подгруппы свободной группы F. По предложению 3.10 в F существуют подгруппы конечного индекса H' = H*U и К' =К*V. По теореме Куроша о подгруппах (которая будет доказана в дальнейшем, см. 111.3) из того, что Я —свободный множитель в H', следует, что Hf)K' — свободный множитель в Н'Г\К'\ аналогично из того, что К — свободный множитель в К', следует, что НГ\К — свободный множитель в НГ\К'- Таким образом, Hf)K—свободный множитель в Я' и К'. Поскольку Я' и К' — подгруппы конечного индекса, такова же и Н'[\К'. [Подгруппа H' П К' — стабилизатор Для (H', К') при действии группы F правыми умножениями на конечном множестве пар смежных классов (H's, K's).] По предположению 3.9 Я' П К' имеет конечный ранг. Следовательно, и

36
Гл. і. Свободные группы и их подгруппы
свободный множитель ЯП К группы Я' П К' —группа конечного ранга. Q
Свойство Хаусона группы G, состоящее в том, что конечно порожденные подгруппы H я К этой группы имеют конечно порожденное пересечение Я П К, сохраняется (как показано Баумслагом в 1966 г.) при построении свободных произведений, а его обобщение, при котором на Я, К и Я П К налагаются некоторые дополнительные требования, было изучено Молдаванским [1968]. В то же время есть группы, не обладающие этим свойством. Пример такой группы G с одним определяющим соотношением был дан в 1969 году Каррасом и Солитэром: в этой группе G имеются две конечно порожденные подгруппы HwK, пересечение H О К которых не может быть порождено конечным множеством элементов. Необходимо, конечно, чтобы хотя бы одна из подгрупп HwK имела бесконечный индекс; в данном примере таковы обе подгруппы. В этом примере Я и К — свободные нормальные подгруппы группы G, эквивалентные относительно некоторого автоморфизма группы G, и Hf)K=IG1 G].
X. Нейман [1956; добавление в 1957 г.] указала границы для ранга пересечения двух конечно порожденных подгрупп свободной группы в терминах рангов пересекаемых подгрупп. Гринберг [1960] показал, что свойством Хаусона обладают фуксовы группы, а Берне [1974] получил границы для этого случая. В статье Бернса [1972] изучается свойство Хаусона для свободных произведений с объединенной подгруппой.
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed