Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 3.4. Ряд коммутантов свободной группы имеет тривиальное пересечение.
? Если свободная группа F имеет ранг 0 или 1, то [F, F] = I и утверждение тривиально. Если ранг группы F не менее 2, то и [F, F]— свободная группа, ранг которой не меньше 2. По индукции таким образом можно доказать, что все последовательные коммутанты имеют ранг не менее 2. Если ранг F не менее 2, то это неабелева группа, a Fj[F, F] — нетривиальная абелева группа, откуда [F, F] с F. Итак, мы видим, что ряд коммутантов является строго убывающим, что позволяет применить для окончательного вывода предложение 3.3. См. также книгу А. Г. Куроша [1967, 3-е изд., §36]. ?
Доказательство аналогичного утверждения о нижнем центральном ряде будет приведено в разд. 1.10.
В 1932 г. Хопф поставил следующий вопрос: может ли конечно порожденная группа быть изоморфной своей собственной факторгруппе? В соответствии с этим группа G называется хопфовой, если любой гомоморфизм этой группы на себя является изоморфизмом. Нехопфовы группы будут рассмотрены нами позже (см. гл. IV). Тот факт, что конечно порожденные свободные группы хопфовы, следует из рассмотрения нильсеновских преобразований. Доказательства его были даны Нильсеном [19211, Магнусом [19391 и Феде-рером и Йонссоном [1950].
Предложение 3.5. Любая конечно порожденная свободная группа хопфова.
? Предположим, что F — свободная группа с базисом X, и пусть Ф — гомоморфизм из F на F. Поскольку Хф порождает F, по предложению 2.7 имеем |Хф|^|Х|. Так как всегда ІХфКІХІ, то |Хф| = = |Х|. Снова по предложению 2.7 в этом случае Хф — базис для F, откуда вытекает, что отображение ф, переводящее один базис в другой, является автоморфизмом группы F. ?
Группа G называется кохопфовой, если любое взаимно однозначное отображение из G в G является отображением «на». Из предложения 3.1 ясно, что никакая нетривиальная свободная группа не обладает этим свойством.
Объединение возрастающей цепочки свободных групп является локально свободной группой (т. е. группой, в которой каждое конечное подмножество порождает свободную группу). Эта группа
3. Подгруппы свободных групп
31
не обязана быть свободной; например, аддитивная группа всех рациональных чисел локально свободна, но не свободна.
Предложение 3.6. Объединение возрастающей цепочки свободных групп ограниченного конечного ранга — хопфова группа.
? Рассмотрим F1SF2^..., где каждая группа F1 ¦— свободная группа ранга не более г, a г — некоторое конечное число. Положим G=UFt . Проведем доказательство индукцией по г. Если г=0, то утверждение тривиально. Предположим, что г>0 и что N — нетривиальная нормальная подгруппа в G, такая, что G/N^G; постараемся вывести отсюда противоречие. Каждая факторгруппа F1NfN^ SiF1Z(F1 Г) N) — конечно порожденная подгруппа локально свободной группы GsiG/N, следовательно, она свободна и как факторгруппа группы Fi имеет ранг не более г. Поскольку N=/=\ и G=UF1, некоторое пересечение FkC\N нетривиально, откуда Ft Г\ N=^=I для всех C>sk. Если i^k, то образы порождающих группы F1 удовлетворяют в F il (Fif} N) некоторому нетривиальному соотношению, а значит, ранг группы FtZ(FiHN) строго меньше г. Теперь группа G/N является объединением возрастающей цепочки групп FtN/N, C^k, причем ранг каждой из этих групп не превосходит г—1. По предположению индукции группа G/N хопфова, откуда вытекает, что и G^G/N хопфова. ?
В [1948] Нильсен рассмотрел свободное произведение G=G1*... ...*Gn конечного числа конечных циклических групп и ядро К (часто называемое декартовой подгруппой группы G) естественного отображения группы G на прямое произведение G групп G;. Он показал, что К — свободная группа [это на самом деле следует из теоремы Куроша (см. III.3 далее)], получил (конечный) базис для К и дал формулу для ранга группы К- В [1965] Круль провел такое же рассуждение в случае, когда все Gj — бесконечные циклические группы, а значит, G — свободная группа и /C=[G, G]. В [1973] Линдон заметил, что рассуждения Нильсена проходят и для произвольных групп Gt, давая при этом базис для К, причем в случае, когда все группы Gt конечны (но в остальном произвольны), формула Нильсена для ранга группы К остается справедливой и может быть записана в виде
Можно заметить, что эта формула является обобщением формулы .Шрайера (см. предложение 3.9) и некоторых случаев формулы ¦Римана — Гурвица (см. разд. III.7); наиболее общая формула, однако, была получена Чизуэллом [1973].
rank (K)-I
32
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Заметим еще, что некая формула, обобщающая приведенную нами, была получена Куном [1952] в качестве следствия его доказательства теоремы Куроша; следуя работе Леви [1940], он вычисляет также порождающее множество для C=[G, G], где G=G1SG21B терминах групп lGb G1] и G2V[Gj, Gj]. Именно это позволяет ему получить формулы, обобщающие вышеупомянутые формулы Нильсена и формулы Такахаси [1944].
Следующее предложение является вариантом одной теоремы Бернса [1969], включающей в себя несколько результатов М. Холла [1949]; основные идеи восходят к Шрайеру [1927].
