Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
28
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Предваряя более общее определение, скажем, что свободная группа F является свободным произведением своих подгрупп F1 и F2, и запишем F=F,*F2, если F1=Gp(Xi), F2=Gp(X2), причем ХіГ)Х2=0 и XiL)X2 — базис группы F; в этом случае говорят также, что Fi и F2 — свободные множители группы F.
Предложение 2.26. Если U — конечное подмножество конечно порожденной свободной группы F, то алгоритмически разрешимо, является Gp(U) свободным множителем группы F или нет.
? По предложению 2.5 можно считать, что U — базис свободной группы Gp (U). Далее, если один из базисов для Gp(U) является частью базиса группы F, то таковы же и все остальные базисы. Таким образом, достаточно выяснить, является ли множество U частью некоторого базиса группы F. Пусть n=rank(F), k = \U\, и предположим, что т — максимум длин элементов и 6 U. По предложению 2.25, если U (J V —базис группы F, то можно считать, что V имеет вид V={vu ..., vn-k), где |и,Кт для всех /. С другой стороны, для любого данного множества V= [vu ..., vn_k) элементов группы F приведением множества U U V можно выяснить, используя предложение 2.5, является ли U U V базисом этой группы. Итак, беря для проверки все такие V, в которых \vt\ ^ т, мы выясняем, является U частью базиса группы F или нет. ?
Это предложение следует также из одной теоремы Уайтхеда (4.25), а также из результатов Бирман и Топпинга (см. 1.10 ниже).
Предложение 2.27. Пусть и и w — нетривиальные некоммути-рующие элементы свободной группы F. Тогда найдется целое п, такое, что \w-"uwn\<.\w-{"^1)uwn+1\<Z... .
? Достаточно доказать, что в некотором w~"uwn, п>0, сохраняется не менее половины начального сомножителя w~n и не менее
ПОЛОВИНЫ КОНе"ЧНОГО СОМНОЖИТеЛЯ W". ПОЛОЖИМ W=W1Wx1U, где СЛОВО Ju1 ЦИКЛИЧеСКИ Приведено, И раССМОТрИМ Ui=UUU'1. Если
требуемое будет доказано для wrnUiW", то все в порядке и для w~"uw"=a~1 (wi~nUiufi)a. Таким образом, можно предполагать, что слово w циклически приведено. По предложению 2.15 \wp\>\u\ для достаточно большого р>0 и, следовательно, uwp=v, причем VW приведено. Тогда приведена и бесконечная последовательность (h=VWW... . Если для некоторого <7>0 часть слова w~i сохраняется, в w~V(x>, то часть слова w~i сохраняется и Bw~4vwr=w~iuwp+r, и утверждение верно для ri^q, p-\-r. В противном случае со начинается с W для всех q>0, так что u>=www... . Отсюда ayco=«, а поскольку (a=vww. .., получаем wvww.. .=vwww... . Однако в этом случае, рассматривая начальные отрезки длины М + М, мы получим wv=Vw, и w коммутирует с u=vw~p, что противоречит условию предложения. ?
3. Подгруппы свободных групп
29
Заметим, что бесконечные слова были использованы в работе Линдона [I960]; настоящее доказательство аналогично доказательству из работы Линдона и Шюценберже [1962].
3. Подгруппы свободных групп
Предложение 3.1. Свободная группа, ранг которой больше 1, содержит свободную подгруппу бесконечного ранга.
? Пусть х, у — различные элементы некоторого базиса свободной группы F и ?/ — множество всех элементов вида у~"хуп, n Є Z. Счетное множество U является Л^-приведенным, значит, служит базисом свободной подгруппы Gp(U) счетного бесконечного ранга. В качестве более естественного примера можно привести коммутант [F, F], также имеющий бесконечный ранг (см. Леви [1940]). ?
Следующая теорема принадлежит Такахаси [1951].
Предложение 3.2. Пусть Fi — свободная группа и Fi^F23..., где F1+I — подгруппа в F1, не содержащая никакого элемента никакого базиса группы Fj. Тогда по отношению к любому базису группы Fi любой нетривиальный элемент группы F1 имеет длину \w\^i; следовательно, f]Ft = l.
? Индукция по і. Случай г'=1 тривиален. Пусть Xj — некоторый базис для FiHWd Fi+V шф\. Так как w ? F1+1^F1, w содержится в подгруппе, порожденной некоторым конечным подмножеством Y<=Xi, причем можно считать, что Y является Af-приведенным; в этом случае w=yx.. .уп, п^\, yj ? Y±l и любое произведение У]У1+± нетривиально. По предположению пф\. Если п=2 и у2Фуи то уіу2— элемент некоторого базиса для F1- и шфуіу2; если у2=уі и w=yxy2= =у\, то \w\ = \y\\>\yi\^i по предположению индукции. Наконец, если гі^З, то, как мы видели в предложении 2.3, w содержит по меньшей мере половину от уі и уп и некоторую букву X из у2, так что Ia)I^Iy1 l/2-flxl +Iyn 1/2>//2+1 + //2>Л ?
Следующее предложение доказано Леви [1930, 1933].
Предложение 3.3. Пусть Fi — свободная группа и F1SF2^..., причем каждая подгруппа F!+i является собственной характеристической подгруппой в F1. Тогда QFt = I.
? Поскольку любое взаимно однозначное отображение одного базиса группы F1 на другой индуцирует автоморфизм этой группы, любой элемент одного базиса может быть переведен в любой элемент другого базиса подходящим автоморфизмом группы F1. Таким образом, если характеристическая подгруппа F1 + 1 группы F1- содержит хотя бы один элемент некоторого базиса для Fj, то она
зо
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
содержит и все остальные, а следовательно, совпадает с Ft. Таким образом, F1+1 не содержит никакого элемента никакого базиса для F1, что позволяет получить нужный вывод применением предложения 3.2. ]
