Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
В 1932 г. Нильсен получил не только описанные выше порождающие группы Aut (F)1 но также и определяющие соотношения; используя их, Б. Нейман ([19321, см. также Б. Нейман и X. Нейман [1951]) получил порождающие и определяющие соотношения для группы Aut (F).
В предложении 4.17, следуя Маккулу, мы изложим этот материал; его можно найти также и в книге Кокстера и Мозера [1965, стр. 89].
Используя элементарный факт, согласно которому преобразования ?,7 и at порождают Aut (F) ^ GL (п, Z) для конечного п, выводим следующее
Предложение 4.4. Естественное отображение из Aut (F) на Aut (F) является эпиморфизмом. ?
Мостовски доказал аналогичный результат для случая, когда F заменяется на свободную группу произвольного многообразия; см. X. Нейман [1969, стр. 148].
Ясно, что ядро этого отображения содержит группу внутренних автоморфизмов группы F, однако при п>2 оно содержит ее собственным образом, так как, например, автоморфизм а : лг2ь—> x11x2x1, X3V-*-x21x3x2, очевидно, не является внутренним автоморфизмом. Следующее предложение доказано Нильсеном [1918] (см. также Чан
Предложение 4.5. Пусть F—свободная группа ранга 2. Тогда ядро естественного отображения из Aut (F) на Aut (F)=^GL (2, Z)— это группа внутренних автоморфизмов группы F.
? Понятно, что группа / внутренних автоморфизмов содержится в ядре К- Для доказательства обратного мы будем использовать тот факт, что G = GL (2, Z) порождена элементами
с определяющими соотношениями (см. Кокстер и Мозер [1965,
/4е = 1, Л3В*=1, (ACY=X и (?C)2=l.
(Это легко выводится из известной структуры группы PSL (2, Z) как свободного произведения.) Теперь следующие элементы
[I960]).
гл. 7])
46
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
группы Aut (F)
у^-Х,
х^у
-і
У-
{
ХУ—>у,
у*-*х,
очевидно, отображаются на Л, В и С. Чтобы показать, что естественное отображение из Aut (F)/1 на G является изоморфизмом и, следовательно, K=I, достаточно проверить, что элементы а6, a3?2, (ay)2, (?y)2 группы Aut (F) лежат в /; это достигается несложным вычислением. ?
Если g— элемент конечного порядка п в GL (2, Z)1 его собственные числа должны быть корнями многочлена деления круга Ф„ (х), который должен быть делителем характеристического многочлена для g, т. е. иметь степень не более 2. Следовательно, п=\, 2, 3, 4 или 6. В 1974 г. Мескин заметил, что GL (2, Z) имеет три класса сопряженных элементов порядка 2 и по одному порядка 3, 4 и 6. Им доказано следующее
Предложение 4.6. Если F — свободная группа ранга 2, то Aut (F) содержит элементы конечного порядка п только при м=1, 2, 3, 4. Имеется четыре класса сопряженности элементов порядка 2, один — порядка 3 и один — порядка 4. ?
(Кручение в группах GL(п, К), п^\, К — произвольное поле, рассмотрено в работах Шпайзера [1956, стр. 210] и Вольвачева
В произвольной группе G автоморфизмы этой группы, индуцирующие тождественные отображения в группе G=GI[G, G], были названы Бахмутом I А-автоморфизмами. Будем употреблять запись IA (G) для обозначения ядра естественного отображения из Aut (G) в Aut (G); к этим группам мы вернемся позже. Символом JA (G) мы будем обозначать группу внутренних автоморфизмов группы G. (К сожалению, эти обозначения почти противоположны обозначениям Баумслага и Тейлор [1968].) Ясно, что в произвольной группе G JA (G) — нормальная подгруппа группы IA (G).
Мы видели, что JA(F) = IA(F), когда F — свободная группа ранга 2, но что JA (F) — собственная подгруппа в IA (F), если F — свободная группа ранга >2. Баумслаг и Тейлор [1968] показали, что для произвольной свободной группы F факторгруппа IA (F)IJA (F) — группа без кручения. Мы приведем один из вариантов их доказательства.
Лемма АЛ. Пусть F—свободная группа, а ? IA (F) и aN? JA (F) для некоторого N^l. Тогда если х—некоторый элемент произвольного базиса X для F и Fn — произвольный член нижнего центрального ряда для F, то существует элемент k? Fn, такой, что ха сопряжен с xk.
[1965].)
4. Автоморфизмы свободных групп
47
? Утверждение тривиально для я=1 и содержится в предположении a?lA(F) для п = 2. Далее рассуждаем по индукции, предполагая, что при некотором я ^ 2 элемент ха сопряжен с xk, где k Q Fn. Мы будем использовать два хорошо известных факта о коммутаторной структуре (см. Магнус, Каррас и Солитэр [1974, гл. 5]). Первый из них элементарен: из а? IA (F) и k Q Fn следует, что ka = k (mod Fn+1). Из этого факта вытекает, что xaN = xkN. По предположению aNQ JA (F), откуда Xa^=u-1Xu = = х[х, и] для некоторого и QF. Следовательно, kN=[x, и] (IHOdFn+1). Согласно стандартным фактам относительно модуля FjFn+1, из того, что х—член базиса и [х, и] = kN(mod Fn + 1), получаем [х, v] = k(mod Fn+1) при некоторому. Если у — сопряжение элементом о-1, то ха—сопряженный с элементом хау, а так как ха—элемент, сопряженный с xk, он сопряжен и с (xk) у = xak = x [х, и]-1/? = X (mod Fn+1). Итак, ха сопряжен с xk' при некотором k' 6Fn+1. Шаг индукции сделан. ?
Предложение 4.8. Если два элемента и и v свободной группы F не сопряжены в F, то для каждого простого р существует гомоморфизм из F на конечную р-группу Р, такой, что образы элементов и и V в P не сопряжены.
