Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 21

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 202 >> Следующая

Следствие 4.12. Если F — свободная группа, то IA (F)IJA (F) — группа без кручения. ?
Следствие 4.13. Если F — свободная группа, то IA (F) — группа без кручения.
? Если ранг группы F меньше 2, утверждение тривиально. В противном случае группа F имеет тривиальный центр, следовательно, она изоморфна JA и является группой без кручения. Наш результат непосредственно следует теперь из 4.12. ?
Следствие 4.14. Если G — произвольная конечная подгруппа в Aut (F), где F —свободная группа ранга п, то естественный гомоморфизм из Aut (/•") на Aut (F/[F, F]) s GL (п, Z) изоморфно отображает G на некоторую подгруппу в GL (п, Z). ?
50
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Следствие 4.15. Если свободная группа F ранга п имеет автоморфизм порядка N при некотором целом N, то в GL(n, Z) имеется элемент порядка N. ?
Обозначим через SA(F), где F—свободная группа, прообраз подгруппы SL (п, Z) при естественном отображении из Aut (F) на GL(п, Z); тогда для любого подгруппа SA(F) имеет
индекс 2 в Aut (F). Элементы из SA (F) называются собственными автоморфизмами группы F.
Заметим, что изучение группы автоморфизмов свободной группы обобщается до изучения группы автоморфизмов свободного произведения; см. Фукс-Рабинович [1940, 1941], а также Курош [1967].
Нильсен [1924] для случая п^З и Магнус [1935] для всех п показали, что если F — свободная группа ранга п, то IA(F) порождается автоморфизмами aijk: X1V-^x1[Xj, xk] (и xhv->xh для пфі) для всех і, j, k, таких, что \Фk. Нильсен показал, что IA (F) — нормальное замыкание в Aut (F) элемента а112:
Л/j і ^ X^ Х-^Х^,
Изучение ядра IA (F) и образа GL (п, Z) естественного отображения из Aut (F) в Aut (FI\F, Fl) может быть обобщено. Действительно, если ф — произвольный гомоморфизм некоторой группы G на другую группу Я, то можно задаться вопросом, какие элементы группы Aut (Я) индуцируются при ф элементами группы Aut (G), какие элементы из Aut (G) оставляют на месте ядро отображения ф и, таким образом, индуцируют автоморфизмы группы Я и какие среди них индуцируют тождественный автоморфизм группы Я.
Андреадакис [1965] показал, что если F — свободная группа ранга о>2, то естественное отображение u71 из Aut (F) в Aut (FIFn), где п>2 и Fn есть м-й член нижнего центрального ряда группы F, не является эпиморфизмом; он показал, что ядра отображений цп составляют центральный ряд для Aut (F), имеющий тривиальное пересечение. Он показал, что, с другой стороны, если ri^m, то естественное отображение из Aut (FIFn) в Aut (FIFn) все же является эпиморфизмом. Андреадакис получил и другие результаты, которые, впрочем, слишком технические, чтобы их поместить здесь. Некоторые из результатов Андреадакиса были независимо получены Бахмутом [1965].
Бахмут [1965] изучал похожие проблемы для свободных метабе-левых групп O=FfF", где F" — второй коммутант свободной группы F. Он показал, что если ранг свободной группы F равен 2, то по аналогии с результатом Нильсена IA ((D)=JA (Ф), но если ранг q>2, то, хотя JA (F) как факторгруппа метабелевой группы метабе-лева, группа IA(F) даже не является разрешимой.
Бахмут [1965] ввел матричное представление группы IA(Q)), радованное на матричном представлении для Ф, открытом Магнусом
4. Автоморфизмы свободных групп
51
[1935]. Пусть R — коммутативное кольцо над Z, содержащее независимые обратимые элементы su ..., sq и tu ..., tq. Магнус показал, что отображение ц изФ в GL (2, R), определенное равенством
^ = I4O 1
является мономорфизмом. Для w из F мы будем обозначать через w образ швФи через w° образ w в F°=F/[F, F]. Будет удобно отождествлять элементы St с х\ и, следовательно, F° с подгруппой мультипликативной группы кольца R, порожденной элементами st. Бахмут заметил, что для любого w из F
'w° b (хюУ
где Ь(до) = 2"/*/> и на самом Деле U1 = (OwIdX(Y, где dw/dxi — производные Фокса (см. разд. 10 ниже), а оператор 0 продолжает естественное отображение из F в Г до отображения группового кольца ZF группы F в групповое кольцо ZF° группы F". Следовательно, если записать t( = dxt, то
где dw = ^i(dwldxt)dxl. Далее, Бахмут показал, что при отображении ц каждый автоморфизм а?/Л(Ф) индуцирует автоморфизм а группы Ф(і, задаваемый правилом S( dX(\° _ (X1 d (X(O)
о і J а=\о 1
чем доказано, что отображение В, переводящее каждый а из Aut (Ф) в его якобиан (д(хі<х)/дх/)°, является точным представлением группы IA (Ф) матрицами порядка q над коммутативным кольцом ZF3. Это представление, лежащее в основе многих результатов Бахмута, Чин в [1968] назвал представлением Бахмута.
Отклоняясь от темы, заметим, что группа Aut (F) получает аналогичное точное матричное представление В' над некоммутативным кольцом ZF, если каждому а ? Aut (F) сопоставить его якобиан
аВ
,_^Ґд (X(O)^
В самом деле, аналогичное утверждение верно для мультипликативной полугруппы эндоморфизмов а группы F, ибо, как мы увидим в разд. 10, по элементам матрицы аВ' == Цзц) можно
52
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
восстановить ос с помощью формулы .ї,-ос — 1 = ^b1J (Xj—1). Бирман [1973] показала, что эндоморфизм а обратим, т. е. является автоморфизмом тогда и только тогда, когда матрица a?' обратима. Топпинг [1973] доказал, что если F — свободная группа с базисом {х, у\, то w Q F—элемент некоторого базиса в том и только том случае, когда в ZF имеются элементы р, о, такие, что р (dw/дх) -f q (dw/ду) = 1.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed