Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. Автоморфизмы свободных групп
-"Шит 43
лежат в Gp(F). Понятно, что достаточно найти Autf(F), такой, что л:га=хгр, 1=0=?/?. Поскольку Xa-1 — базис для F, конечное множество Y содержится в Gp(Za-1) при некотором конечном подмножестве Z множества X; можно предполагать, конечно, что
Y=Z= (Xi.....Xg), /?<<7.
Пусть U =Zoc~1 = («1, ..., ич), u,=x,a_1. По предложению 2.2 некоторое нильсеновское преобразование ? переводит U в$1/ = V, где V приведено. Поскольку группы Gp (V) = Gp (U) = Gp (Za-1) = = Gp (Z) а-1 имеют ранг q, преобразование ? регулярно. Поскольку, далее, Y = Gp (Za-1) = Gp (V), по предложению 2.8 Y s Vі1, что позволяет после несущественных замен в ?, а значит, и в V = $U считать, что V = (X1, хр, vp+1, V4) для некоторых vp+1, Vg. Итак, имеем V = ??/= ?Za-1.
Вектор Z является начальным отрезком вектора X, так что Za-1 — начальный отрезок той же самой длины о вектора Xa-1. Поскольку ? состоит только из преобразований, включающих лишь первые q компонент матрицы, ?Za-1 — это не что иное, как начальный отрезок длины q вектора ?Xa-1. Итак, V—начальная составляющая длины q вектора ?Xa-1. Но X — матрица тождественного автоморфизма, откуда ?Xa-1 = ?a~1. В частности, для 1 і^p г-я компонента X1- вектора У —это і-я компонента x,?a-11 для ?a-1; в этом случае x, = Xj?a-1 и x,-? = x,-a, что и требовалось доказать. ?
Можно дать характеризацию группы Aut^(F), не зависящую от выбора какого-либо фиксированного базиса.
Предложение 4.2. Автоморфизм а принадлежит группе Aut/(F) тогда и только тогда, когда группа F обладает базисом X, таким, что а изменяет лишь конечное число элементов из X.
? Если a — элементарное нильсеновское преобразование, относительно некоторого базиса X, то ясно, что оно изменяет лишь конечное число элементов из X; понятно, что то же самое верно и для любого конечного числа таких преобразований. Обратно, предположим, что некоторый автоморфизм а оставляет на месте все элементы X1- при C^n некоторого базиса X=(X1, х2, ...). Тогда Xa=(U1, ип, хп+1, хп+г, ...) — базис для F, и некоторым
регулярным нильсеновским преобразованием у, оставляющим на месте все Xj при i>n, мы можем минимизировать число 2|uj|, где Xa1Y=(Ux, vn, хп+1, ...). Тогда вектор XaY будет удовлетворять (N1), а выполнение (NO) следует из того, что XaY — базис. Дальнейшими регулярными нильсеновскими преобразованиями можно добиться и выполнения (N2). По предложению 2.8 X1, ... ..., хп Q (Хау)+1, т. е. хь ..., х„—это некоторые из vf1, что позволяет после незначительного изменения автоморфизма Y считать, что Ui=Xi, ..., vn=xn. Но тогда aY=l и a=Y-1 лежит в Auit(F). ?
44
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Замечание. Если F — свободная группа со счетным бесконечным базисом X, то симметрическая группа на X изоморфно вложима в AUt(Z7), так что эта последняя несчетна. В то же время ясно, что группа Autt(F) счетно порождена и, следовательно, счетна.
Преобразования ?jj и at составляют достаточно разумное множество порождающих для AUt(Z7). Однако можно быть и более экономными. С другой стороны, мы будем иногда считать элементарными ^-преобразованиями все преобразования, которые переводят некоторое Xi в элемент xtxf1 или Xf1X1, ІФІ (оставляют на месте все хкФХі), вместе со всеми автоморфизмами, переставляющими множество X±l.
Если F имеет бесконечный ранг, то приведенные выше преобразования порождают не AUt(Z7), а лишь подгруппу тех автоморфизмов, которые изменяют лишь конечное число из данных базисных элементов. Описание множества порождающих в бесконечном случае (в духе доказательства предложения 4.1 или по аналогии с коммутативным случаем) представляет трудности лишь в смысле обозначений.
Дайер и Форманек [1975] доказали следующее
Предложение 4.3. Если F — свободная группа конечного ранга г», то группа Aut (Z7) совершенна, т. е. AUt(Z7) имеет тривиальный центр и каждый автоморфизм этой группы внутренний. ?
Согласно одному замечанию Бернсайда [1911], достаточно доказать, что группа внутренних автоморфизмов для F характеристична в AUt(Z7). Во второй статье Дайер и Форманек [1976] показали, что совершенна группа Aut (JV), где N — уже свободная нильпотентная группа класса 2 и ранга гфО, 1, 3 *).
Предваряя дальнейшее, сделаем несколько замечаний относительно связей с коммутативной теорией. Для этого предположим, что F — свободная группа конечного ранга, и положим Z7' = [F, F] (коммутант группы Z7), F = FfF'. Группа Z7 —свободная абелева или Z-модуль с базисом X, равным образу базиса X в F. Переходя к аддитивным обозначениям для F, получим Aut (F) = = GL(n, Z), где п = \Х\. Нильсеновские порождающие группы Aut (F) индуцируют следующие порождающие для GL (п, Z):
?,/ X1 н->X1 + Xj, где ]фі (трансвекции); а,-: Х;у-Xj (отражения).
Предположим, что U — упорядоченное множество элементов группы F, которым соответствуют элементы Ui Є F вида иг =2с(^/, сц Є Z.
1J См. также дальнейшую работу тех же авторов в Amer. J, Math. 1977, т. 99, № 4, с, 713—753,— Прим, перев.
4. Автоморфизмы свободных групп
45
Нильсеновское приведение множества U (относительно фиксированного базиса X) индуцирует приведение матрицы C= (ci;) к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (без использования преобразований столбцов). Замена множества U его образом при некотором автоморфизме группы F (этот процесс будет рассмотрен в связи с теоремой Уайтхеда, см. 4.19) соответствует преобразованиям столбцов.
