Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? Будем следовать доказательству Баумслага и Тейлор, отмечающих помощь Г. Хигмана х).
Без потери общности можно предполагать, что каждый порождающий встречается в и или в v.
Пусть А" —базис группы F. Проведем индукцию по сумме |u|-f-|u| длин элементов инь. Если образы и и и элементов и и и в F=F/[F, F] различны, то g = и-1 и— нетривиальный элемент конечно порожденной свободной абелевой группы F и имеет нетривиальный образ в абелевой р-группе FJFpe для достаточно большого е. Образы элементов и и и в этой абелевой группе тогда различны и потому не сопряжены. Это, между прочим, позволяет избавиться от случая, когда ранг F не превосходит 1, и доказать основание индукции. _
Итак, мы можем предполагать, что и = v и что ранг группы F не менее 2. В этом случае существует отображение ф из F на Z, такое, что и==и лежит в ядре. Можно рассмотреть и индуцированное отображение ф из F на Zp, такое, что и и и лежат в ядре N этого отображения. Поскольку Хф порождает Ър,
Х^ф\ ДЛЯ НеКОТОрОГО X1^X1 ДЛЯ КОТОРОГО, B ЧаСТНОСТИ, И x1(P
порождает Zp. Таким образом, T = {1, X1, ..., xf-1} — трансверсаль для NbFh метод Шрайера (см. предложение 3.8 выше) дает
*) Предложение доказано в работе В, Н. Ремесленникова [1971].— Прим. ред.
4S
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
для N базис Y, состоящий из всех нетривиальных элементов вида r(t, x) = txtx~l, где t ?Т, х?Х и tx— представитель для tx в Т. Как и прежде, запишем %(t, x~1) = i(tx~1, х)-1. Тогда, если w в N имеет вид до = S1. . .sn, s,- € X (J X-1, то относительно F
л
слово w может быть записано в виде w' = JJ т (S1. . . si_1, s,-).
(= і
Таким образом, |до'|^С|до|. Если до начинается с x1, то первый сомножитель в произведении для до'—это т(1, х)=\, откуда (до' I < |до|.
Однако элементы и и и лежат в N, и один из них, скажем u, содержит x1. После возможной замены обоих элементов на обратные к ним и замены элемента и некоторой его циклической перестановкой, мы можем предполагать, что и начинается с x1. Тогда |и'|<|и| и If'l^lfl, что позволяет применить предположение индукции.
Сказанное дает основание сделать вывод о том, что в N имеется нормальная подгруппа K1, такая, что P1=NfKi — конечная р-группа, в которой образы элементов и и v не сопряжены. Поскольку N имеет конечный индекс р в F и K1 нормальна в N, K1 имеет лишь конечное число сопряженных K1, Km (где т=\ или т=р) в F. Пусть К=г\Кі- Тогда существует гомоморфизм из P=NIK в прямое произведение групп P1=NIKi', поскольку эти последние изоморфны конечной /7-группе P1, P — конечная /7-группа. Более того, естественный гомоморфизм из N на P1 может быть пропущен через Р, так что образы элементов и и v в P не сопряжены. Поскольку N имеет индекс р в F, а К нормальна в F, подгруппа P = =NIK имеет в P'=FIK индекс р. Итак, P' — конечная р-группа, являющаяся образом группы F при отображении, оставляющем элементы и и V несопряженными. ?
Отметим, между прочим, что только что доказанное предложение очень тесно связано с понятием финитной аппроксимируемости относительно сопряженности; см. Мостовски [1966], Стиб [1970, 1971] и особенно Блэкберн [1965]
Предложение 4.9. Если и и v — элементы свободной группы F, не сопряженные в F, то для некоторого п их образы не сопряжены в FIFn.
? По предыдущему предложению существует некоторая конечная р-группа P=FIN, в которой образы элементов и и и не сопряжены. Однако Pn = I для некоторого п, откуда FnsN, и гомоморфизм из F на P можно пропустить через FIFn. Образы элементов и к v в FIFn не могут быть сопряжены, так как иначе и образы ими в P были бы также сопряжены. ?
[) См. также Каргаполов [1967], Ремесленников [1969, 1971].— Прим. перев.
4. Автоморфизмы свободных групп
49
Лемма 4.10. Если a?/A(F), где F—свободная группа, и aNQJA (F) для некоторого N ^ 1, то ха сопряжен с элементом х при любом базисном элементе х группы F.
? Это непосредственно следует из 4.7 и 4.9. ?
Предложение 4.11. (Баумслаг —Тейлор). Если aQlA(F), где F — некоторая свободная группа, и aN ? JA (F) при некотором N^\, то a?J A (F).
? Это тривиально, если ранг группы F меньше 2. Предположим, что ранг F по меньшей мере 2, причем х, у, ...—различные элементы ее базиса. По лемме 4.10, умножая а на подходящий внутренний автоморфизм, можно считать, что ха= х. Если уа не имеет вида и~хуи для некоторого и = ха, то по лемме 4.10 он имеет такой вид при u = xhvxk, где v нетривиален, и начинается и заканчивается буквами, отличными от х, х~х. Далее, ху также элемент некоторого базиса для F, так что элемент (ху)а сопряжен с ху. Однако (ху)а= (ха) (уа) = xx-kv~xx~hyxhvxk имеет циклически приведенную форму xv~1x~hyxhv, которая длиннее, чем ху, и, значит, не может быть сопряжена с ху. Отсюда выводим, что уа = х~ауха для некоторого а. Если ранг F равен 2, то а —это сопряжение элементом Xа, и все доказано. В противном случае, если z — еще один элемент нашего'базиса, теми же самыми рассуждениями можно получить га = х~ьгхь при некотором Ь. Элемент yz входит в некоторый базис группы F, так что (yz)a сопряжен с yz. Но (уг)а = х~ауха~ьгхь имеет циклически приведенную форму хь~аух"~ьг, более длинную, чем yz, и не сопряженную с yz, если только не выполняется а = Ь. Это доказывает, что существует одно-единственное число а, такое, что а переводит каждый элемент данного базиса в его сопряженный посредством Xа, т. е. а —сопряжение элементом ха. ?
