Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. Автоморфизмы свободных групп
59
пусть их общая длина равна числу п. Множество V циклических слов группы F длины п конечно. Рассмотрим их как вершины некоторого графа, в котором ребро, соединяющее (до) ? V и (до') g V, имеется в том и только том случае, когда некоторое преобразование Уайтхеда переводит (до) в (до'). Согласно предложению 4.17, автоморфизм, переводящий (до,) в (до2), существует, когда (Доі) и (до2) можно соединить связным путем.
Проведенное рассуждение позволяет нам определить, имеется автоморфизм а ? Aut (F), такой, что (доі)а=(до2), или нет, и найти такой автоморфизм в случае существования. Однако равенство (Дої)а= (до2) эквивалентно сопряженности элемента W1Ot. элементу до2, т. е. существованию автоморфизма а' ? Aut (F), такого, что Доі<х'=до2. ?
Постараемся теперь видоизменить предложение 4.17, рассматривая вместо одного циклического слова до конечное множество циклических слов W1, ..., до( и заменяя рассмотрение длины |до| слова до на рассмотрение суммы длин 21^1 слов даь • • ¦> wt- В этом случае доказательство предложения 4.17 проходит без дальнейших изменений и влечет за собой следующее
Предложение 4.20. Пусть W1, ..., wt и w[, ..., w't — циклические слова, такие, что до,а = доь ...,wt<x = w't для некоторого а Є Aut (F), и предположим, что 21ш>>1 минимально среди всех 2l^Aa'l> г^е а' € Aut (F). Тогда а = хг...хп, пГ^О, где X1, ... ..., хп ? Й и где для любого 0 < і < п имеем 21 а'лті ¦ • • т/1 ^ ^*2ішлІ' причем неравенство строгое всегда, кроме, возможно,
случая 2NaI = SI^I- ?
Рассуждениями, аналогичными приведенным в первой части доказательства предложения 4.19, мы получаем следующее
Предложение 4.21. Пусть W1, wt и w[, ..., w't—циклические слова в свободной группе F. Тогда алгоритмически разрешима проблема существования автоморфизма a ? Aut (F), такого, что
W1CL = Wl, ¦ ¦ -, Wf(X = W1. ?
Перейдем теперь к рассуждениям Маккула [1974], дополняющим лемму 4.18. Получим с их помощью предложение 4.23, аналогичное предложению 4.17, для обычных, не циклических, слов, а также представление для группы автоморфизмов конечно порожденной свободной группы.
Пусть F — свободная группа конечного ранга п с базисом X = = {xlt ..., Xn}. Пусть Q—множество преобразований Уайтхеда относительно множества X и A = Aut(F). Поскольку Q содержит нильсеновские преобразования, Q порождает А. Мы рассмотрим представление с порождающими, отображающимися на множество Q. Точнее, пусть U — множество, находящееся во взаимно одно-
60
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
значном соответствии с й, Ф — свободная группа с базисом Q и Ф — отображение из Ф на А, переводящее каждый о ? Q в соответствующий a ^Q. Обозначим через Л^<]Ф ядро отображения ф. Мы опишем некоторое конечное множество R=M, нормальным замыканием которого в Ф окажется М, так что для группы А будет получено представление (см. 11.1) в виде A-(Q; R).
Если г= Ud-1^jV, где «ф==к, иф = 1\ то в А выполняется соотношение и = v. Мы будем, как это принято, при описании R выписывать не элементы этой нормальной подгруппы, а соотношения u = v. Здесь UHV записаны как произведения U = O11... .. .oil1, V = %['...т?*, eh fі = ± 1, элементов из Q и обратных к ним, причем соответствующий элемент г равен произведению
г = о\'...о\Нт[<... т^)-1.
По определению Q — объединение двух множеств Q1 и Q2, в пересечении которых лежит только 1; Q1 состоит из всех о 6 Q, которые переставляют элементы из L = XL)A'-1, a Q2 — из всех o?Q, имеющих вид о= (А, а). Множество Q1 очевидным образом порождает подгруппу A1 группы А порядка 2"-я!, состоящую из всех элементов а ? А, осуществляющих перестановки множества L. Если Ф, — подгруппа в Ф, порожденная множеством Ci1, то ограничение ф, отображения ф на Ф: отображает Ф; на A1-Ясно, что ядро M1 гомоморфизма фі—это нормальное замыкание в Ф! некоторого конечного множества R1. Мы будем предполагать, что такое множество уже выбрано, и постараемся получить R в виде R = R1I)R2.
Опишем R2 как множество, состоящее из элементов г?Ф, определенных приведенными ниже соотношениями (Rl)—(R6). В них а и b означают а~1 и Ь~х.
(Rl) (А, а)-1 = (А-а+ a, а).
(R2) (А, а) (В, a) = (A U В, а), где Af]B = {а).
(R3) (В, b)-i(A, а)(В, Ь) = (А, а), где Af]B = 0, а~$В, Ь$А.
(R4) (В, Ь)-Х(А, а)(В, b) = (A + B-b, а),
где Af] B = 0, а $ В, b?A. (R5) (А, а)(А—а + а, b) = (a, b, а~, Ь)(А—Ь+Ъ, а) где b?A, Ь^А, афЪ,
и (a, b, а, Ь) обозначает автоморфизм, индуцированный выписанной циклической перестановкой множества L.
(R6) о~1 (А, а)о = (Ао, ао), где о ?Qt.
4. Автоморфизмы свободных групп
61
Понятно, что RsN. Обозначим через N2 нормальное замыкание множества R2 в Ф. Для дальнейшего удобно заметить, что N2 содержит соотношения трех следующих видов:
(R7) (Л, O) = (L-а, а)(Л', O) = (A', a)(L-a, а). (R8) (L-b,b)(A,a)(L-b,b) = (A,a), где Ьфа и b,b?A'. (R9) (L-b,~b)(A, а) {L — b, b) = (A',a), где Ьфа, b?A и Ь?А'.
Приведенные соотношения вытекгют из следующих вычислений, в которых используются только соотношения (Rl) —(R 6). Согласно (R2) и (Rl), получаем для (R7)
